實際操作中MACD起到了鈍化一階導數和二階導數的作用
A 理論公式推導
海外量化學和統計文獻顯示，MACD實際上是一種魯棒性更強的一階導數和二階導數的估算。在充分解釋MACD的量化特性前，我們需要引入一下幾個統計學的概念：
平均數（均線），中位數（中位線）
N日的均線計算公式：
N日的中位線計算公式：
人們僅僅熟悉均線，但是中位線卻鮮為人知，兩者的區別可以由下圖簡單給出。
圖為均線和中位線比較圖（塑料指數小時K線）
由上圖可以看到，在小時線中均線和中位線的變化軌跡並沒有太大的出入，均線和中位線總是在兩者稍有偏離後逐步收斂到一起。通過觀察收益曲線，我們發現兩個系統在固定時間內均創造了大致相同的利潤，交易了大致相同的手數。因此可以說，在交易層面上，中位線和均線兩者並沒有顯著的區別。
均線穿越，不完整Theil-Sen估算
均線穿越是技術分析中最被廣泛運用的指標，MACD本質也是由此而來。均線穿越的表達公式為：
不完整Theil-Sen估算的方法在Theil(1950abc)當中有詳細的解釋，其表達公式為：
由上面的經驗性驗證，我們得知平均數和中位數兩者之間並沒有顯著的不同：
經過公式推導，我們發現長短周期均線的差值約為不完整Theil-Sen估算的5倍，兩者的走勢基本吻合，偏差極小。另外，只有在均線長短周期相差一倍的情況下，Theil-Sen估算才和均線穿越約等，其他情況皆無法比較。Theil-Sen估算的表達式可以被理解成是一個10日價差的重疊窗口的測算平均值，由於10日價差的觀察周期被延長，可以被理解成是一個被鈍化了的一階導數。和以上的單均線策略一樣，我們也比較均線交叉和Theil-Sen估算在交易中的表現，指標大於0做多，小於0做空。
兩者交易次數和收益也大致相同，因此我們可以做出以下結論：長短周期均線差值和Theil-Sen估算值近似，統計學意義相似。
MACD
通過以上兩小節，我們得知，單均線系統和穿越系統均有其背後的統計學意義，並且有嚴格的理論支撐。
這也解釋了為何與均線相關的系統在如今量化模型高度發展的市場仍然佔有一席之地。MACD既然是從均線系統衍生發展而來的，那麼其本身的統計學意義肯定也是不言而喻。最常見的MACD參數為(12,26,9)，長周期的指數均線EMA(12)減去短周期指數均線EMA(26)構成了DIFF，公式化則為DIFF=EMA(12)-EMA(26)。
由於指數均線EMA在公式推導的過程中過於複雜，我們現在假設所有的EMA均由MA組成方便公式推導，在最後我們再通過MA和EMA的關係圖表將MA轉換到EMA，關係可見下表。
表為同周期EMA等價MA條件所需參數，<Z:\KT2015\150121c08.tif>
如果EMA的指數遵循上表中的調配方法，不斷地隨著周期的增長降低指數，我們將會得到一個很近似於同周期MA的均線，兩者並無顯著區別。而許多交易軟體多將指數設計成此形式，所以此處完全可以使用MA代替EMA。繼續上面的公式表達方式，我們就有：
此處如用24代替26，可將EMA轉換成普通均線的估算誤差部分矯正。我們發現DIFF(12,26)實際上約為Theil(12)值的6倍，DIFF具有鈍化的一階導數性質。
由於不完整Theil-Sen估算的滯後性，並且推導過程較長，DEA指標的二階導數的性質就不在這裡展開討論。
圖為交易盈虧曲線圖（均線系統，塑料指數小時K線）
圖為交易盈虧曲線圖（中位線系統，塑料指數小時K線）
B 實際交易應用
根據上面的討論結果，我們得知在實際操作中，MACD是起到了鈍化一階導數和鈍化二階導數的作用。多方使用經驗表明，鈍化的一階導數在實際操作時可以起到很大的作用，但是由於其鈍化的特點，信號的產生總是會落後於實際行情一定時間，這實際上規避了行情振蕩時利用敏感指標被反覆止損的尷尬，利弊參半。
在鈍化二階導數的應用上，由於本身就是在鈍化一階導數的基礎上計算而來，其鈍化的效果更加明顯，對行情反應非常慢，不建議實際操作中作為參考。技術分析在敏感性和魯棒性之間永遠無法找到平衡點，這些問題要交由歷史數據統計來解決。MACD雖然是眾多指標中最為有統計和數學意義的指標，但是仍然無法克服這個問題。結合其他指標來輔助MACD可以更加準確的判斷行情在統計學上的顯著性，RSI本身的統計學性質可以很好地彌補MACD的測量短板。
（作者單位：民生期貨）
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