306.實對稱矩陣合同的問題 - 龔冬保教授考研數學網上答疑

2020-12-16 考研幫(kaoyan.com)

西安交大出版社數學135系列答疑資料

龔冬保考研數學網上答疑 (Email：sx135_J07@126.com)

　

實對稱矩陣合同的問題

問題：

1. 請問老師以下一節話對否？這是我一個朋友傳給我的。

根據老師昨天的回答，兩個實對稱矩陣合同則必定合同於同一個對角陣。那麼就應當有相同的特徵值，那麼兩個矩陣就相似，也就是說實對稱矩陣的合同與相似是等價的。所以，我同學傳給我的上面這段話是不對的，老師認為呢？

再問：老師說「兩個實對稱矩陣合同則必定合同於同一個對角陣」，那麼我們有一個定理「實對稱矩陣必定相似合同於對角陣，也就是存在可逆矩陣P使得,(P轉置)AP＝(P逆)AP=對角陣」那麼，「如果兩個矩陣A、B分別合同於同一對角陣，那麼他們必定分別與該對角陣相似，所以由於相似的傳遞性必定有A、B相似，有相同特徵值。」這個推理有沒有什麼問題？

如果有問題的話，我想應當是：『A、B、對角陣1、對角陣2』，四者兩兩合同，但A相似於對角陣1，B相似於對角陣2，『A與對角陣1』這一組與『B與對角陣2』這一組沒有任何相似的關係」，那麼應當有「如果兩個實對稱矩陣合同但不相似，則必定存在兩個對角陣使得： 1。兩個實對稱陣均合同於兩個對角陣。2。兩個實對稱陣分別相似於該兩個對角陣。3。兩個對角陣合同但不相似」，所以，兩個實對稱陣，相似與合同並不等價，相似可以推出合同，合同推不出相似。您看對麼？

2. 如果矩陣A合同於單位矩陣E那麼，A一定是實對稱陣。正確麼？

再問：也就是說證明題，證明A是正定矩陣，只要有A合同於E就可以了，無需再證明A是否實對稱對麼？我看到很多證明題，好像一開始必須證明A實對稱，才證明其他條件，我覺得這是多餘的，故而提出上面問題。

答覆一：

1.你同學傳給你的上段話是對的，合同與相似是兩個不同的概念。確實，兩個實對稱矩陣合同則必定合同於同一個對角陣，但由此推不出有相同的特徵值來，A與B相似時有相同的特徵值，但A與B合同時，卻不一定有相同的特徵值。另外，也不要把正、負慣性指數和特徵值相混淆。

2.如果實矩陣A合同於單位矩陣E, 不僅可以斷定A一定是實對稱矩陣，而且進一步得到結論：A一定是正定矩陣。

CH

答覆二：

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龔冬保 西安交大教授，畢業於北京大學數力系。全國優秀教師。多次參加全國數學考研命題及各類數學競賽命題，長期擔任考研輔導、數學競賽教練工作，是著名的命題專家和輔導專家。

「數學135系列」簡介（西安交通大學出版社出版 電話：029-82667874， 029-82668357）

  1.《數學考研考點精講方法精練》龔冬保主編（原名《數學考研教程》） 這是專門為考研複習編寫的教材，針對性強，複習效率高，有許多普通教材中沒有，但在考試中行之有效的解題絕招。

  2.《數學考研典型題》龔冬保主編 精選例題500餘道，練習題1000餘道。題型全面，分析透徹，解答巧妙，今年新增全部練習題題解。

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  4.《數學考研模擬考試試卷》龔冬保主編 根據2007年大綱模式精心編制，分為「數學一」「數學二」和「數學三／四」，每套10卷，被往屆考生譽為「模擬達到多少分，就能考到多少分」的模擬題。

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