找準相似三角形是解題關鍵（2020年上海第25題）

2020-08-06 愛數學做數學

找準相似三角形是解題關鍵（2020年上海第25題）

找準相似三角形是解題關鍵（2020年上海第25題）

2020年上海市中考數學140分以上出現扎堆現象，整張試卷難度分布較為平緩，沒有大起大落，前面的選填題依然存在個別「小坑」，壓軸題難度相對往年有降低，導致最後一題看上去就像教材習題，當然，它也並不是如表面一般人畜無害，稍不留神，也會失手。

相似三角形對應邊成比例，這很平常，選擇合適的比例線段構造方程，是我們常用方法，哪些線段能入選取決於對題目的理解，而相似三角形，一定要找準。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，圓O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC於點D.

(1)求證：∠BAC=2∠ABD；(2)當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大小；

(3)當AD=2，CD=3時，求邊BC的長.

找準相似三角形是解題關鍵（2020年上海第25題）

解析：

(1)一般而言，壓軸題的第1小題，通常情況下需要一點「秒殺」技巧，我對這個詞的理解，就是用最快捷的思路，直達終點。

有三角形，有外接圓，此時第一個想到的概念就是外心，沿這個思路下去，外心是三角形三邊垂直平分線的交點，即連接OA之後，O點一定在△ABC中BC邊的垂直平分線上，結合它是一個等腰三角形，聯想到「三線合一」，於是OA搖身一變，成為∠BAC的角平分線，如下圖：

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∠ABD=∠BAO，且∠BAO是∠BAC的一半，即∠BAC=2∠ABD；

(2)當題目中出現「等腰三角形」且又未指明底和腰的時候，意味著分類討論，對於△BCD，可能存在BD=CD或BC=CD兩種情況，BD不可能等於CD。

當BD=CD時，如下圖：

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不妨設∠ABD=x，於是∠BAC=2x，求出∠BDC=3x，所以∠C=3x=∠ABC，在△ABC中，利用內角和定理列方程，得3x+2x+3x=180，解得x=22.5，所以∠BCD=67.5°；

當BC=CD時，如下圖：

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和前一種情況類似，區別在於此時∠DBC=∠BDC=3x，所以∠ABC=∠C=4x，依然在△ABC中，利用內角和定理列方程，得4x+2x+4x=180，解得x=18，所以∠BCD=72°；

(3)作為等腰三角形的底邊BC， 求它的長度，又怎能不使用「三線合一」呢？因此將AO延長交BC於點E屬於必作輔助線，同時我們也能輕鬆證明，AE就是BC邊上的高、中線，如下圖：

找準相似三角形是解題關鍵（2020年上海第25題）

下面只需要求出BE的長度即可。

過點O作OF⊥AB，由等腰△ABC可知AB=5，於是OF在△AOB中也是底邊上的中線，AF=5/2，為計算方便，不妨設OB=r，OD=t；

在上圖中，有一對共邊共角型相似三角形，△ABD∽△OAD，利用它得到的比例線段，我們推導如下：

找準相似三角形是解題關鍵（2020年上海第25題）

在得到圓的半徑r的值之後，兩條路可走，一是計算∠FAO的正弦值，二是再利用△AOF∽△ABE，均能得到BE的長度，最後求出BC，推導如下：


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解題反思

總體來看，上海的這道壓軸題並不難，甚至可以說比去年要簡單不少，在疫情影響下，這是正確的政治佔位，值得肯定。

當然代價也是有，就是數學在中考各科中的甑別效應降低了，不過上海中考數學的區分，也從來不是僅靠後面的幾道壓軸題，前面的選填題一樣也「咬人」，加上總分150分，稍不留神，也會拉開差距，像這種不押寶於最後幾道大題的命題思路，也的確值得學習。

本題仍然採用常見數學模型，看上去非常親切，圓中的內接三角形，還是等腰三角形，實在太平常，哪次模擬或小測沒這類題目？然而依然有了新意，通常情況下，只要想到了那對相似三角形，後面的問題就容易許多，而在這種「對稱性」很強的圖形中，找到共邊共角型相似，本身也極考驗學生的觀察圖形能力。

命題不押寶，或者提高押寶代價，讓猜題押題無利可圖，也同樣體現的是教育的公平性。

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