三角形重心的常用性質

2021-03-02 彭老師microlecture

中午午輔導時學生問了一道題目如下：

例、如圖，G為△ABC的重心。若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交於兩點，則關於△ABC三邊長的大小關係，正確的是（     ）

A、BC<AC     B、BC>AC     C、AB<AC    D、AB>AC

學生說，這題憑感覺是AB>AC，但是卻說不清楚為什麼是這樣。

學生的感覺是對的，但道理何在呢？看來他們對三角形重心的性質了解還不夠深入。事實上，如果將三角形的重心與三個頂點連接起來，將三角形分成三個三角形，這三個三角形的面積是相等的，再由高的大小關係就可得出底的大小關係。

在我們的教材中對於三角形重心的性質闡述的並不多，主要就是三角形的重心將三角形的中線分為2：1的兩部分這樣一條。下面對於上述性質做一簡要證明，並對三角形重心部分性質略作梳理，有興趣的同學可以查閱資料自行探索：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

證明：略

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等

證明方法：

在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

過O，A分別作a邊上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可證S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數

即其坐標為[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

4、三角形內到三邊距離之積最大的點

5、卡諾重心定理：若G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

歡迎關注彭老師個人微信公眾號（長按下方二維碼識別）

相關焦點

  • 三角形的內角平分線定理及重心性質
    ，已經認識了三角形的三條角平分線交於一點，它們的交點是內心，有關內心的知識我們在圓一章也做了學習。                               三角形的重心性質在三角形一章我們還知道三角形三邊上的三條中線交於一點，這個交點叫重心。
  • 2021年中考數學知識點:三角形的重心的性質
    中考網整理了關於2021年中考數學知識點：三角形的重心的性質，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 　　2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 　　3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
  • 2021年中考數學知識點之三角形的重心的性質
    中考網整理了關於2021年中考數學知識點之三角形的重心的性質，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 　　2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 　　3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
  • 利用三角形重心性質渡劫選擇壓軸題
    利用三角形重心性質渡劫選擇壓軸題說起三角形的重心，多數學生都會想到三條中線的交點，然後便是實際應用例如頂起一塊三角形木板之類的問題，卻極少有更深入理解重心與中線之間的數量關係。這實在是非常像「三線合一」，可惜，根據已有的條件，全等三角形無法判定，這屬於「邊邊角」，思維就此陷入困境，如何渡過這個劫難呢？既然AG是中線，則F點一定是BC中點，常見輔助線作法中，有中線倍長構造全等的思路，剛才的△ABF與△ACF沒法證全等，總能構造出另外一對全等三角形吧？
  • 中考專題——三角形內心、外心、垂心、重心的性質
    1）定義：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(通常用H表示)。（2）三角形的垂心的性質①銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心③垂心O關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上 　　④△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=
  • 第1128期:三角形之心0040*重心15*三角形重心性質(任一點到三點距離平方和不等關係)
    上述動圖1，從點A開始，到出現「學生身邊的數學輔導員」結束。       這樣您能用自己的語言表述「三角形重心性質（任一點到三點距離平方和不等關係）」嗎？三角形重心性質（任一點到三點距離平方和不等關係）：如上圖2，∆ABC的重心為點G，點G到三頂點A、B、C的距離分別為GA、GB、GC，平面上任一點P到三頂點A、B、C的距離分別為PA、PB、PC，則：注意到本主題不等式兩端代數式的對稱關係嗎？注意到本書許多主題關係的「美學形態」嗎？
  • 三角形各個心的匯總以及性質的證明過程
    三角形有很多的心：內心、外心、重心、垂心、旁心等。這些心都有著自己的性質，是需要我們掌握的，在以後的學習中，提到三角形的的什麼心，我們就要知道它能得出什麼結論，在做題中會給予我們很大的幫助！三角形的外心三角形的外心就是三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。它的性質就是外心到三角形的三個頂點的距離相等。註：中垂線是一條線段的垂直平分線。
  • 【精點課堂】三角形的重心
    三角形的重心命題1  三角形的三條中線交於一點.證明：如圖1，設兩中線BE、CF交於點G，連AG並延長交BC於D，延長GE至M，使EM=GE，連AM、CM.這點叫三角形的重心。這點有物理意義，均勻質材的三角板的重量（質量）以該點為質心，因此這點叫三角形的重心。證明三條中線交於一點，還有不同的方法，希望同學們能尋找到。性質1   重心到頂點的距離是到對邊中點距離的二倍。
  • 三角形的重心、垂心、外心和內心的認識
    重心：三角形三邊中線交於一點，這一點叫三角形的重心。任意三角形的重心都在三角形內部：證明三角形的重心交於一點：性質：>1.三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為 1∶ 2；2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等；3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
  • > 重心是什麼的交點有啥性質
    重心是三角形三邊中線的交點。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等，重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。　　1三角形重心定義及性質證明　　三角形重心是三角形三中線的交點。當幾何體為勻質物體且重力場均勻時，重心與該形中心重合。
  • 向量的應用(一)——從三角形重心說起
    今天，我們利用它研究與三角形重心、外心、垂心有關的性質。 1. 證明：三角形三條中線共點（重心）。 證明：如圖，設△ABC的三邊BC、CA、AB的中點分別為D、E、F，設中線AD∩BE=G；
  • 中考數學複習指導:三角形的重心
    中考數學複習指導：三角形的重心 　　已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。求證：F為AB中點。 　　重心的幾條性質： 　　1.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 　　2.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
  • 2018中考數學知識點:三角形的重心公式證明
    重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理來證明。 　　三角形的重心 　　已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。求證：F為AB中點。
  • 另類三角形重心
    大家都知道三角形的重心吧。如果光講這個話題，沒人願意看了，要往物理上推推。如果我們在三角形的三個頂點上掛上重物，質量相同的時候，重心就是幾何重心。如果質量不同，重心怎麼算？咱們先不忙著上三個點，先看簡單的兩個點。
  • 初中數學乾貨:三角形的重心、垂心、內心、外心及其相關結論
    三角形的重心、垂心、內心、外心歸納，有需要的同學往下看！三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。註：（1）三角形的中線、高線及角平分線都有3條，且分別都交於一點。（2）三角形各邊的垂直平分線交於一點。數學選擇題中，通常會這樣考：下列關於三角形的重心、垂心、內心、外心的說法正確/錯誤的是？解答此類題，要知道四心是什麼？有哪些相關的結論？
  • 2020年中考數學複習資料之圓的練習之三角形的重心
    中考網整理了關於2020年中考數學複習資料之圓的練習之三角形的重心，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　G為△ABC的重心.若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交於兩點，則關於△ABC三邊長的大小關係，下列何者正確?
  • 三角形重心問題,數學競賽裡的炮灰題,你會證嗎?
    眾所周知，三角形三條中線的交於一點，這個點就是三角形的重心。而關於重心，又有很多性質，我們就來說一下重心在中線的位置問題，如圖，在△ABC中，三條中線AF、BD、CE相交於O點，則O點是AF、BD、CE的三等分點。
  • 強化全等三角形的判定與性質,角平分線性質的相應試題
    【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找全等三角形解決問題，屬於中考常考題型．四邊形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB於E，CF⊥AD於F．
  • 相似三角形性質在解題中的應用
    本文例說運用相似三角形性質解題一、作輔助線，構造相似三角形例1 （深圳）如圖1，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD：BE的值為>分析 由於點O是等邊△ABC和等邊△DEF的邊BC、EF的中點，所以，聯結OA，OD是常用的輔助線．有這裡，我們利用相似三角形的性質，使未知和已知之間建立了橋梁作用．
  • 第1242期:三角形之心0048*重心23*類似重心性質定理
    如上圖2，∆ABC的類似重心為點E，點E到三邊a、b、c的距離分別為Ea、Eb、Ec，則：從上圖看出圖形是簡潔的，點E與點D的坐標始終是相同的，說明這兩點是同一點，從浮標信息進一步分析發現點D是通過指令「三線坐標點[A, B, C, a, b, c]」實現的，點E是通過指令「三角形中心[A, B, C, 6]」實現的，注意這兩個指令在GeoGebra中的含意。