這15條易混淆的小學數學基礎概念,你都知道嗎?

小學數學基礎概念中，有一些概念是容易混淆甚至有所爭議的。所以在日常教學過程中，對於這些易混淆的概念要有一個清晰的認識，也避免在練習中去「為難」孩子。

這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁「關於幾位數」的敘述：「通常在自然數裡，含有幾個數位的數，叫做幾位數。

例如「2」是含有一個數位的數，叫做一位數；「30」是含有兩個數位的數，叫做兩位數；「405」是含有三個數位的數，叫做三位數……但是要注意：一般不說0是幾位數。

再來聽聽專家的說明：在自然數的理論中，對「幾位數」是這樣定義的，「只用一個有效數字表示的數，叫做一位數；只用兩個數字（其中左邊第一個數字為有效數字）表示的數，叫做兩位數……所以，在一個數中，數字的個數是幾（其中最左邊第一個數字為有效數字），這個數就叫幾位數。

於此，所謂最大的幾位數，最小的幾位數，通常是在非零自然數的範圍研究。所以一位數共有九個，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。

０不是最小的一位數。

課標教材對「０也是自然數」的規定，顛覆了人們對自然數的傳統認識。

於此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數國家都認為自然數從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯的說法，認為0不是自然數。2000年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將0歸為自然數。這次改版也是與國際慣例接軌。

從教學實踐層面來說，將「０」規定為「自然數」也有著積極的現實意義。

眾所周知，數學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學生的集合。無限集合是含有的元素個數是非有限的集合，如分數的集合。因為自然數具有「基數」的性質，因此用自然數來描述有限集合中元素的個數是很自然的。

但在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個數為0。如果不把0作為自然數，那麼空集的元素的個數就無法用自然數來表示了。如果把「0」作為一個自然數，那麼自然數就可以完成刻畫「有限集合元素個數」的任務了。於此，從「自然數的基數性」這個角度，我們看到了把「0」作為自然數的好處。

「0」加入傳統的自然數集合，所有的「運算規則」依舊保持，如新自然數集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數。同時，加法、乘法運算的結合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。

所以，「0」加盟到自然數集合實屬理所當然，而不僅僅是人為的「規定」。它讓我們更好地理解自然數和它的功能，同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數學的「定義」和「規定」，還應該思考「規定」背後的數學涵義。

有效數字是對一個數的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數如果在取捨時，保留的有效數字多，就比保留的有效數字少更精確。

一般說，一個近似數四捨五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。這時，從左邊第一個非零的數字起，到那一位上的所有數字都叫做這個數的有效數字。

如近似數0．００３０９有三個有效數字：３、０、９；０．５２０也有三個有效字：５、２、０。

而０．００３０９中左邊的三個零，０．５２０中左邊的一個零，都叫做無效數字。

「加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算」這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解。例如：

加法「２＋３＝５」，其逆算為「５－２＝３」，「５－３＝２」。

故此，加法的逆運算只有減法；

減法「５－２＝３」，其逆算有「５－３＝２」，「２＋３＝５」。

故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。

綜上可知，只能說減法是加法的逆運算，而不能說加法與減法互為逆運算。

同理，也只能說除法是乘法的逆運算，而不能說乘法與除法互為逆運算。

在學習「求一個數是另一個數的幾倍」應用題時，很多小朋友會自然提出這樣的疑問，如：「飼養小組養了12隻小雞，3隻小鴨，小雞的只數是小鴨的幾倍？」為什麼「12÷3＝4」的後面不寫「倍」呢？

我們首先應該肯定學生的質疑（學生有較強的解題規範意識）。但同時又該對學生說明：在解答應用題時，得數後面一般要寫上的是數的單位名稱。

如：12隻的「只」；8克的「克」。一個數只有帶上單位名稱，才能準確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，「倍」不是單位名稱，它表示兩個數量之間的一種關係。例如，上面的計算結果「4」，表示12裡面有4個3，就是12隻小雞是3隻小鴨的4倍。

所以，在算式裡不寫「倍」，以免「倍」與單位名稱發生混淆。

在第一學段我們學習了「倍的初步認識」，認識了概念「倍」，而在第二學段,我們又學習到「倍數」這個概念。那麼，「倍」和「倍數」這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什麼區別呢？

「倍」指的是數量關係，它建立在乘除法概念的基礎上。例如：男生有10人，女生有30人，因為「10×3=30」或者「30÷10=3」，我們就說，女生人數（30）是男生人數（10）的3倍，也可以說，男生人數（10）的3倍等於女生人數（30）。勿寧說，「倍」其實表示的是兩個數的商（這個商可以是整數、小數、分數等各種表現形式）。

「倍數」指的是數與數之間的聯繫，它建立在整除概念的基礎上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數。可見，「倍數」是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數的形式有特別的要求（必須為整數）。

同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6×5＝30，「6×5」表示6的5倍。所以從這個角度來說，「倍」的涵義應寬泛於「倍數」，後者可以視為前者在特定情形下的一種表現。

「時」和「小時」有什麼不同？

怎樣使用「時」和「小時」？

首先應該明確的是，〔小〕時並非國際時間單位。在1984年國務院發布的《關於我國統一法定計量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、〔小〕時、分作為輔助單位。

（註：〔〕裡的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。

這樣，在我國範圍內使用的法定時間單位就有：天（日）、〔小〕時、分、秒。

由此，「時」既可以表示時間，又可以表示時刻。由於「時間」和「時刻」這兩個不同的概念容易產生混淆，在實際應用時間單位「時」時，

現行教材作了如下處理：

7．1當列式計算出時間的長短時，在得數的括號裡寫上時間的單位「時」。例如：超市營業時間：21-9=12（時）。（此處可省略「小」字）

7．2在用語言表述時間的長短時，為避免「時間」和「時刻」這兩個概念產生混淆，則在「時」的前面加上一個「小」字。例如：超市營業時間12小時。

7．3在用語言表示時刻時，一律不得出現「小時」字樣。例如：公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。

從形式上看，此例將「改寫」與「省略」兩種對數的變化置於了同一個要求之下（即改寫成用「億」作單位的數）。我們真希望編者不是有意而為之，因為「改寫」與「省略」其本質是完全不同的。

表現在：

8.1目的不同。

「改寫」的目的是方便對大數的讀寫，而「省略」則是取數的近似值。

8.2方法不同。

此處的「改寫」是去掉「億」位後面的0，再寫上一個「億」字，而「省略」除了要找準「億」位，還要考慮被省略的尾數的最高位是幾，然後用四捨五入法求出近似數。

8.3符號不同。

「改寫」只改變了數的表現形式，大小並未改變，所以用「=」號連接；而「省略」既改變了數的形式，又改變的數的大小，所以用「≈」連接。

這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的，其實不然。

「路程」是指從一個地點到另一個地點所經過路線的長度；而「距離」則指連接兩個地點而成的直線段的長度。

「路程」所經過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。

一般情況下，兩個地點之間的「路程」要大於它們之間的「距離」，只有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相等。

雖然老師們都知道這個等式是成立的,但我們的學生卻沒有相應的知識儲備,怎樣繞開」極限」尋找能為小學生所理解和接受的證明途徑。

先看看分數單位的含義：把單位「1」平均分成若干份，表示這樣一份的數。

顯然，在分數意義中，關鍵是「分」，沒有「分」，就沒有「份」。

因為把單位「1」平均分成的最少份數是2份（如果是1份，也就無所謂「分」），由此得到的分數單位是1/2，所以1/2是最大的分數單位。

儘管就廣義的分數來說，1/1也可視作分數，但它已不是我們通常意義上認識的與整數對立的那種分數（在平均分的基礎上所產生），故此，最大的分數單位應以1/2為宜。

像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數是不是分數?

分數的定義明確告訴我們:把單位「1」平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數,叫分數。其中，分成的份數叫做分數的分母，要表示的份數叫做分子。

由此可知，分數的分子和分母都應該是非零自然數。從這個意義來說，以上這幾個數徒具分數的形式，而不具分數的實質，因此都不應該視為分數。

進而，在考查學生對「分數」涵義的理解時，應著眼於通常意義上的分數，將上述這些變異形式納入思考的範圍，其本身對訓練學生的思維並無多大實際意義，而且會令諸如「分數都大於0」等命題的真與假陷入尷尬。

 比6多1/2的數」應該是「61/2」還是「6×（11/2）」

要弄清這個問題，先得弄清「6」的性質。顯然，此處的「6」其實質是一個「數」，而非一個「量」，求「比6多1/2的數」應屬於「求比一個數多幾的數」的範疇，問題中的「多幾」都是確定的具體數，這裡的「幾」既可以是整數，也可以是小數或分數。

所以，這裡的「1/2」是指在6的基礎上「多1/2」這個「1/2」數的本身，而非「6的1/2」。

所以，「比6多1/2的數」應該是「61/2」。

當然，如果題目確定為「比6多它的1/2的數」，那答案則屬於後者。

先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。

同一課程標準下，不同的教材給出了不同的理解，這給執教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求「××率」其結果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實際出勤人數佔應出勤人數的百分之幾。

如果公式只寫成：出勤率=實際出勤人數／應出勤人數，我們說這只是分數形式（也即是求實際出勤人數佔應出勤人數的「幾分之幾」），並不是百分數。

因此，在公式後面乘上「１００％」，既可以使計算數值大小不變，又能保證結果形式滿足百分數的要求。因此，計算出勤率、發芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應乘「１００％」。

同時建議各版本教材的編委統一思想，以免給一線教師造成認識上的混亂。

根據課標教材定義：小於９０度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產生一個新的問題：０度的角是什麼角，也是銳角嗎？

事實是，銳角定義有一個隱含的前提，就是小學數學中所討論的角都是正角。習慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉時，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。

由此，嚴格意義上的銳角定義應是：大於０度而小於９０度的角叫做銳角。

足球比賽記分牌上的「３︰２」是數學中的「比」嗎？

我們至少可以從兩個方面來理解它們的差別。

第一，球類比賽中的「３︰２」表示的是比賽雙方的得分情況，是「差」比，即表示相差關係，一方得３分，另一方得２分，雙方相差１分；數學中的「３︰２」表示的是「３÷２」，是「倍」比，商為１.5。有鑑於此，球類比賽中的「比」（其實是比分），其後數可以為０的，而數學中的「比」，其後數（相當於除數）是不可以為０的。

第二，數學中的「比」是可以化簡的，如「４︰２＝２︰１」；同樣的「４︰２」放在球類比賽中，卻不可以化簡，如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實際得分了。

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▍編輯：小潘老師，在教育一線奮戰多年的中年女教師，致力於免費分享學習資料，幫助孩子成長。