已知x^2-y^2=xy,求(x+y)/(x-y)的值

主要內容：

介紹通過正比例換元、中值換元、三角換元以及二次方程求根公式等方法，計算代數式(x+y)/(x-y）在x^2-y^2=xy條件下具體值的步驟。

思路一：正比例替換

設y=kx,代入已知條件得：

x^2-(kx)^2=x*kx，

(1-k^2)x^2=kx^2，

1-k^2=k，則：

k^2+k-1=0,由求根根式得：

k=(-1±√5)/2;

代數式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)

=2±√5。

思路二：二次方程求根公式法

x^2-y^2=xy,

y^2+xy-x^2=0,將方程看成y的二次方程，

由求根公式得：

y=(-1±√5)x/2,代入代數式得：

代數式

=[x+(-1±√5)x/2]/[x-(-1±√5)x/2]

=(1±√5)/(3∓√5)

=2±√5。

思路三：結論換元法

設(x+y)/(x-y)=k,則：

y=(k-1)x/(k+1)，

又x^2-y^2=xy,將y代入已知條件得：

x^2-(k-1)^2*x^2/(k+1)^2=x*(k-1)x/(k+1)

(k+1)^2-(k-1)^2=(k^2-1),

k^2-4k-1=0,

k=2±√5。

思路四：中值替換

設x+y=2m,x-y=2n,則x=m+n,y=m-n,

(m+n)^2-(m-n)^2=1*(m+n)(m-n)

2mm+2mn=(m^2-n^2)

m^2-4mn-n^2=0,由二次方程求根公式得，

m=(2±√5)n。

則代數式=2m/2n

=m/n=(2±√5)。

思路五：三角換元法

設x=cost,y=sint,則：

(cost)^2-(sint)^2=costsint,

2cos2t=sin2t，即tan2t=2,

由萬能公式得：

tan2t=2tant/(1-tan^2t)=2,即：

(tant)^2+tant-1=0,

tant=(1±√5)/2。

代數式

=(x+y)/(x-y)

=(cost+sint)/(cost-sint)

=(1+tant)/(1-tant)

=[1+(1±√5)/2]/[1-(1±√5)/2]

=(3±√5)/(1∓√5)

=2±√5。