小學數學解題技巧:巧算等差數列

2020-12-10 希爸聊教育
約翰·卡爾·弗裡德裡希·高斯，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，被認為是歷史上最重要的數學家之一，並享有"數學王子"之稱。

01

相信大家都聽過《小高斯巧解算術題》的故事，你還記得他是怎樣快速地算出1+2+3+4+……﹢100的結果嗎？嘻，只要掌握這些算式的特徵與規律，你也會像小高斯那樣成為一位「神算手」。

現在，請大家仔觀察下面的算式有什麼共同的特徵？

1+2+3+4+5＋……+98+99+100

2+4+6+……+16+18+20

4+8+12+……+84+88+92

我們會發現：在這些算式中，從第二個加數起，每一個加數減去它前一個加數，所得的差都相等。像這樣的算式，我們稱之為「等差數列」。

如果我們把「等差數列」中第一個加數稱作「首項」，最後一個加數稱作「尾項」，加數的個數稱作「項數」，那麼它的和與首項、尾項、項數之間會存在下面的關係：

和=（首項+尾項）×項數÷2

我們一般把這種有趣的關係叫做「等差數列的求和公式」，利用這一公式能夠快速地求出「等差數列」的和。

例1：計算2+4+6+8+……﹢94+96+98+100的和。

【分析與解】在算式中，從第二個加數起，每一個加數減去它前一個加數所得的差都是2，所以這算式是一個等差數列。首項是2，尾項是100，項數是50，則它的和為

例2：計算1-3+5-7+9-……-39+41=（ ）。

【分析與解】我們不妨把加數放在一起進行觀察，同時把減數也放在一起進行觀察，容易發現：

1-3+5-7+9-11+13-……-39+41

=（1+5+9+13+……+41）-（3+7+11+……+39）

在算式1+5+9+13+……+41中，從第二個加數起，每一個加數減去它前一個加數所得的差都是4，所以它是一個等差數列；同樣，在算3+7+11+……+39中，從第二個加數起，每一個加數減去它前一個加數所得的差都是4，所以這些數也組成一個等差數列。

你學會判斷哪些算式是等差數列沒有？會快速求出它們之和嗎？試試看！

小練兵：計算5+15+25+35+……+2010+2015=（ ）。

02

如果能靈活地運用等差數列的求和公式，還會使一些看似複雜的計算得到巧解。下面，給大家舉例講解：

例1：（2011+2012+2013+2014+2015+2016+2017+2018+2019）÷2015=（ ）。

【分析與解答】如果我們按部就班地進行計算，既耗費時間又容易出錯。通過觀察，我們容易發現：在「2011+2012+2013+2014+2015+2016+2017+2018+2019」中，從第二個加數起，每一個加數減去它前一個加數所得的差都是1，所以「2011+2012+2013+2014+2015+2016+2017+2018+2019」是一個等差數列。從而，我們可以靈活地應用等差數列的求和公式進行巧算：

例2：1÷50+2÷50+3÷50+……+98÷50+99÷50=（ ）。

【分析與解答】如果我們按常規進行計算，會因有部分除法算式的計算結果有餘數，而使計算無法繼續。我們不妨先應用除法的運算規律「a÷d+b÷d+c÷d=(a+b+c) ÷d」對原式進行整理，再靈活地應用等差數列的求知公式進行巧算：

你看懂了嗎？請完成下面的題目試試！

(1) 1÷2015+2÷2015+3÷2015+……+2014÷2015=（ ）。

(2) 1+2+3+4+……+2015的和除以7，餘數是（ ）。

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