如何證明平行板電容器的電容公式 ?

我們知道，平行板電容器的電容C滿足如下公式：

 

  人教版教材只是給出了這個公式而沒有給出這個公式的證明過程，原因在於這個公式的證明需要用到高等數學和大學物理的知識，下面我們來證明這個公式。

 

 證明：假設空間中有一個無限大的均勻帶電金屬薄板，金屬薄板單位面積上的電荷量為δ（不妨設金屬板帶正電），如圖1所示；

 

由對稱性知，金屬板外空間中任意一點的電場強度方向都與金屬板垂直，且金屬板兩側與金屬板距離相等的點場強大小相等，如圖2所示；

 

以金屬板為對稱面在空間中選擇如圖3所示圓柱體，設圓柱體的高為2r，底面積為S。

 

由於空間中每一點的場強都垂直於金屬板，所以圓柱體側面的電通量為0，上下底面的總電通量為2ES，由高斯定理得：

 

 也就是說：無限大的帶電均勻的金屬薄板會在其兩側產生兩個勻強電場，且勻強電場的場強大小為金屬板的電荷面密度比上兩倍的介質介電常數（某點場強的大小與該點到金屬板的距離無關）。

 

有了上述結論之後我們再來分析平行板電容器。

 

 設平行板電容器的正對面積為S，間距為d；板間介質的相對介電常數與其（絕對）介電常數滿足如下關係：

外接電源使得電容器一個極板帶電量為+Q，另一個極板帶-Q，由電容器電容的定義C=Q/U，只需要求出此時電容器兩極板間的電壓U即能求出電容C,而U=Ed，所以最終的問題轉化為求解極板間電場強度的問題。如下圖所示，由於異種電荷相互吸引，兩極板上的電荷視為集中在正對著的那一面，電荷面密度為δ=Q/S，正負兩極板分別在板間激發同方向等大小的電場：

 

故平行板電容器的電容：

 

證畢！