把準備刪了曾經打算應付考試的總結髮一下，嘿嘿
2020.12.15
1.k是使彈簧產生單位位移（變形）需要加在彈簧上的力，稱之為彈簧的剛度係數，簡稱為（ ）
Cij為單位載荷作用在（ ）點上而在點（ ）上產生的位移，稱之為（ ）
kij為（ ）點產生單位位移而作用在（ ）點上的力
F= Kδ K為（ ）F為（ ）δ為（ ）
2.做題步驟：將結構（ ）為有限個數目的（ ）。圖中 ①，② 單元的端點（或頂點），稱為（ ）。圖中，（ ）點是節點作用在節點上的載荷稱為（ ）。圖中節點與單元之間的相互作用力，稱為（ ）
節點位置的變動，稱為（ ）
3.整體結構總剛度矩陣的特點：①（ ）。由（ ）決定。 ②（ ）。反映了（ ）。 ③（ ）。（ ）與（ ）方向一致。 ④（ ），即其（ ）為零。
4.有限單元法在應用中，根據（ ）來推導單元特性和有限元方程。
最常用的變分原理是：（ ）（ ）（ ）
5.請簡述下列原理的基本內容
(1)虛位移原理；
(2)最小勢(位)能原理；
(3)最小餘能原理
彈性體內部滿足（ ）和在邊界上滿足（ ）的應力分量中，只有同時在彈性體內部滿足（ ）並在邊界上滿足（ ）的應力分量，才能使總餘能取極值，且若彈性體處於穩定平衡狀態，總餘能為最小值。
(4)給出平面應力問題和平面應變問題兩種問題的相同和不同的對比，並給出基本公式的推導
6.採用不同的變分原理，得到不同的未知場變量。 Ø
當採用勢能原理時，必須假設單元內位移場函數的形式，這種有限元分析方法稱做（ ）或（ ）。 Ø
當採用餘能原理時，須假設應力場的形式，這種方法稱為（ ）或（ ）。 Ø
當採用雷斯納原理時，就必須同時假設某些位移和某些應力，因而這種方法稱為（ ）。 Ø
用有限元法作振動分析時，很有用的變分原理是（ ）。
靜態分析時，對大多數問題，應用位移法較為簡單，因此這種方法得到了廣泛的應用。本課程主要介紹（ ）
為什麼選擇多項式作為位移函數？選擇三次多項式能保證單元具有下列運動和變形：（ ）（ ）（ ）（ ）
離散化的主要內容：
簡化實際結構的幾何圖形，確定計算模型；2.選擇單元類型，將求解區域進行有限元分割；3.結構離散化之後，對單元和節點分別進行編號；4.定義單元
如果彈性體的位移是坐標的已知函數，就可以用幾何方程求得應變，進而用物理方程求得應力。對於一個單元，需要知道其內部的位移函數(連續的、可導的)。
7.[f]=[N][ δ] ,[f]是（ ）[N]是（ ）[ δ]是（ ）
形函數表示單元內部位移的分布形狀。 即：單元的節點通過形函數控制著單元的位移形態
8.為保證有限元解收斂，位移函數應滿足的條件有：
包含常數項，即 （ ）項，反映（ ）。
包含線性位移項，即 （ ）項，反映（ ）。
反映單元的連續性，保證單元內部位移是連續的，在相鄰單元之間應保持位移協調。
9.變形體中，任意滿足平衡的力系在任意滿足協調條件的虛變形狀態上所做的虛功為零的原理是（ ），即（ ）+（ ）=0, 而在結構內部： 虛應變能=-（ ），所以，外力虛功=（ ）
虛功原理是（ ）和虛應力原理的總稱
10.單元剛度矩陣性質
（ ）（ ）（ ）（ ）
整體剛度矩陣的性質：1（ ）2.（ ）3.（ ）4.（ ）
11.中|k|=0時，因存在剛體位移而位移不唯一，所以方程不能直接求解。必須加入邊界條件，消除剛體位移。有兩種方法解決，分別是（ ）（ ）
12.形函數的性質有三條，分別是（ ）（ ）（ ），第三條說明在公共邊界上的位移u和v，完全由公共邊的兩個節點的位移所確定，相鄰單元的位移軸對稱問題。
13.在空間問題中，如果彈性體的（ ）（ ）以及（ ），都是對稱於某一軸，則彈性體產生的（ ）（ ）（ ）也（ ）於這一軸，這種問題稱為空間軸對稱問題。
軸對稱的載荷有輪盤(軸)的離心力，均勻的軸向力，熱負荷等。如果幾何軸對稱的零件，所受的載荷非軸對稱（例如軸類零件承受彎矩、扭矩或陀螺力矩等），稱這種情況為（ ）(即零件幾何軸對稱而載荷非軸對稱)，其應力分布是（ ）的。這種情況分析更複雜。是連續的。
14.軸對稱問題使用（ ）表示θ正向，空間軸對稱問題取其對稱面來進行研究
3節點軸對稱體單元是環形單元，在rz面上是節點為i, j, m的三角形單元。單元稜邊是圓，稱（ ）。單元以（ ）相連。節圓與rz面的交點為（ ）。嚴格意義上軸對稱問題為準二維問題，與平面問題是有差別的。通常在rz面上進行軸對稱體單元的劃分。單元節點的編號及單元定義是一樣的。但公式的推導是有區別的。
位移函數因有3個節點，同樣取線性函數（ ）
軸對稱問題矩陣B中由於含有Ai，Aj，Am而不再是常數矩陣，變成了r , z 的函數。應變（ ） 、應力 （ ）也不再是常數。為了簡化計算，可以用三角形單元形心處的坐標（ ）來代替變化的（r，z）使軸對稱體三角形單元變為常數單元，這是軸對稱體三角形單元與平面三角形單元的不同之處
與平面三角形單元不同，軸對稱體單元的節點力是分布在節圓上的分布力。考慮到非節點載荷移置到了節點上，節點上作用的力有節點力、體力等效節點載荷、面力等效載荷和熱應變引起的節點載荷，表示為 此節點力比第二章中的更具一般性，是等效節點力
軸對稱體的幾何矩陣【B】不再是常數矩陣，剛度矩陣的計算變得更為複雜。
15.軸對稱體三角形單元剛度矩陣的計算有兩種處理方法：（ ）（ ）
溫差引起的等效節點載荷：當軸對稱結構中溫度分布不均勻時，就會產生熱應變，因而產生熱載荷
Figz(自重引起的等效節點載荷)的計算有三種方法 ： (1)近似計算，取形心的數據；(2) 數值積分；(3) 採用面積坐標積分
非軸對稱載荷、位移的處理:幾何形狀是一個軸對稱體，承受的載荷是非軸對稱時，把載荷和位移按三角級數展開，即把任意載荷展成對稱載荷加反對稱載荷. 採用三角級數，是因其具有正交性和周期性。這裡的對稱和反對稱是指在幾何軸對稱體上，取θ=0的剖面來說
的
16.常見的只有角節點單元形狀有一維單元、二維單元、軸對稱單元、三維單元。
有邊節點的單元，由於這些單元的插值函數可以是二次的，也因此被稱為二次單元
兩類不同的單元：第一類：節點上只有位移函數值的單元。這類單元在邊界上只要求（ ），比如點三角形單元、軸對稱三角形單元及四面體單元。第二類：節點上既有位移函數值又有其導數的單元。這類單元在邊界上，既要求 （ ）又要求（ ），比如梁單元。
17.舉例畫出平面三角形節點數（3,6,9,3）和節點參數和自由度和位移函數階次關係。同樣的三角形單元，由於節點數目的不同，位移函數的階次是不同；同樣節點數，由於節點參數類型不同，位移函數的階次也不同。
位移函數可以用形函數來直接描述，表達式為（ ）
17.形函數通常用插值多項式來表示，被稱為單元的插值函數
對於節點上只有位移函數值的單元，採用（ ）來確定形函數。對於節點上既有位移函數值又有其導數的單元，採用（ ）來作為單元的插值函數。
18. 練習拉格朗日插值以及拉格朗日修正，求解N1，N5
19. 試畫圖說明：（針對八節點正方形單元）
各階次的三角形單元的節點數滿足帕斯卡三角形取完全多項式的要求，因而都是完備單元。滿足收斂性條件。構造更高階次的三角形單元，按完全多項式的要求來確定節點數。而矩形雖然拉格朗日插值形成的多項式高達4次，但和4次完全多項式比，缺了6項，單元精度因此沒有提高。所以，一般不採用含內節點單元。
工程上常採用節點布置在邊上的邊點族單元，矩形單元的節點數目與完全多項式的數目不一致。但在x, y方向取得節點數相同，滿足幾何各向同性要求。
階譜單元中的H稱為（ ），節點參數（ ）（一定/不一定）具有原節點參數的物理意義，形函數的性質（ ）（滿足/不滿足），單元的收斂性（ ）（有/沒有）改變。階譜函數H3的形式（ ）（是/不是）唯一的,階譜函數選取的要求是1.（ ）2.（ ）3.（ ）
階譜單元在由低階向高階轉變時，低階單元的剛度矩陣被高階單元利用是（ ）（變化的/不變的）。
20.階譜單元的優點是用於（ ）時，可以（ ）。
自適應，就是當計算精度不能滿足要求時，在網格數量（ ）（變化/不變化）的情況下，提高（ ）的數值，進行重新分析.
直角坐標系下的空間問題，一共有（）個未知函數： 3個位移分量，6個應變分量，6個應力分量。待定係數是通過節點的位移和坐標確定。
階譜函數可以有三種取法，勒讓德多項式積分，p!多項式，以及x（1-x）等
3節點三角形單元的總體坐標與面積坐標的關係是
3節點三角形單元的位移插值函數的表達式
三角形單元的坐標和位移是用同樣的參數(即形函數)來描述的，且所用參數的個數與階次也完全相等，稱具有這種性質的單元為（ ）
21.等參變換是有條件的，即（ ），為什麼（ ），所以對單元的要求是（ ）
22.等參元的收斂性：如果形函數滿足和為1 ，單元內部的位移也是線性分布的。位移插值函數含有常數項和一次項，因而是（ ）。只要適當劃分網格和選擇單元，相鄰單元在公共邊上有（ ），同時每一單元沿這些公共邊的坐標位移函數可以採用相同的插值函數來確定，因而等參元能滿足（ ），是（ ）。
如果坐標變換是m，，
位移插值函數是n，
則等參元是（ ）（m,n關係），超參元：（ ）（m,n關係）通常（ ）（滿足/不滿足）完備性要求，次參元：（ ）（m,n關係）（ ）（滿足/不滿足）完備性要求
23. 8節點等參數單元的等效節點載荷的計算，（ ）（能/不能）按靜力學方法移置。等參元的非節點載荷向節點移置時，使用的公式與3節點三角形單元是一致的，移置後，（ ）（滿足/不滿足）靜力等效條件。
24.牛頓一科茨（ Newton- cotes)積分：積分點（ ）（等距/不等距）分布，可達到（ ）次精度，如果原被積函數低於（ ）次，則積分結果是精確的，權係數與被積函數（ ）（有關/無關），與積分點的個數位置（ ）（有關/無關）
有關。1) m=1是（ ）公式， m=2是（ ）公式。 餘項Rm的上限是原被積函數導數的函數。右上表示導數階次。 3) m=2和m=3， m=4和m=5精度（ ）（相同/越來越大），實際計算中常用（ ）（奇數/偶數）數階。藉助於Newton-cotes積分常數及誤差估計，可以方便地進行積分。需要指出的是：n個積分點，可以構造一個（ ）次的多項式。原被積函數是（ ）次以下的函數，則積分結果是精確的。當積分點不是等間距分布，又要求達到較高精度時，就要採用（ ）積分。
25.高斯積分：積分點（ ）（等距/不等距）分布，可達到（ ）精度，如果原被積函數低於（ ）次，則積分結果是精確的。
權函數：高斯積分與牛頓科茨積分區別：（ ）（ ）
積分效率：（ ）（Irons積分，高斯積分）更高
Hammer積分：選擇積分階次的原則 （ ）（ ）
26.當高斯積分的階數等於原被積函數所有項次精確積分所需階數時，此時積分稱為（ ）。在剛度矩陣達到精確積分的條件下，隨著單元尺寸的減小，有限元解是單調地收斂於精確解的。在實際情況中，實際選取的積分點數低於精確積分的要求，此時的積分稱為（ ）
27.虛位移原理和虛應力原理構成了（ ）
物理方程，即（ ）加入到虛位移原理和虛應力原理中，就得到了最小位能原理和最小餘能原理。基於最小位能原理的計算模型是顯得偏於（ ）（「剛硬」，「柔軟」）；基於最小餘能原理的計算模型是顯得偏於（ ）（「剛硬」，「柔軟」）
28.採用縮減積分可以比採用精確積分取得更好的精度，為什麼？
1）.對於積分而言，如果精確積分滿足的是（ ），不會帶來好的影響。反而是取較低階的高斯積分，積分精度保證了（ ）的要求，又不包括（ ）的要求，單元精度得到了改善。
2）.基於最小位能原理建立的位移有限元，位移的近似解在總體上是（ ）的，也就其計算模型的整體剛度較實際結構的剛度值（ ），減縮積分能使計算模型的剛度有所（ ），有助於提高計算精度。
29.網格的劃分：
1）合理布置網格的疏密。1）應力梯度大的區域網格應（ ）（疏/密）一些； 2）自適應分析法
疏密網格的過渡
(1)同階單元的過渡
(a)採用形狀不規則的單元過渡：不足：( )。
(b)採用三角形單元過渡：不足：( )。
(c)採用多點約束方法過渡：( )。
(2)不同階次單元間的過渡:構造變節點數的過渡單元來實現。
應力近似解：
1. 單元內部一般（ ）（滿足/不滿足）平衡方程
2. 單元與單元的交界面上應力一般（ ）（連續/不連續）
3. 力的邊界上（ ）（滿足/不滿足）力的邊界條件
在有限元法中，只有（ / ）時，其應力解才能滿足平衡方程和力的邊界條件。
在加權最小二乘意義上的應變近似解和應力近似解，( )(一定/不一定)在精確解上下振蕩，
在某些點上近似解正好等於精確解，這些點就是單元內的（ ）。等參元中n+1階高斯積分點上的應變或應力近似解，比其他部位都具有更高的精度，因此稱n+1階高斯積分點是等參元中的（ ）。
30.等參元單元內的最佳應力點來處理計算得到的應力，可以改善應力解的精度。假設精確解是二次變化曲線，如果二次單元進行計算，得到的近似解就是線性的。在2個高斯積分點上，有精確解等於近似解。對於此例，高斯積分點的值就是精確值。
這個結論是有條件的。條件為：1)單元雅可比行列式是（ ）; 2)假定每個單元內，應變(或應力)分量的變分是獨立的。因此上述結論只對（ ）嚴格成立，對二維、三維單元是近似的。但是可以根據一維單元的結論給出推論。
假設位移近似解是p次多項式，幾何方程中的微分的階次是m=1，應變近似解 (或應力近似解 )的階次就為（ ）。
31.應力修勻：
應力的單元平均：取（ ）的平均值。算數平均、面積加權平均
應力的節點平均：取（ ）的平均值。算數平均、面積加權平均
總體應力磨平：構造一個（ ），使得此改進解在求解域上是（ ）的。缺點是（ ）
單元應力磨平。（ ），（ ），但未能充分利用最佳應力點具有的（ ）。
分片應力磨平。折中總體與單元應力磨平的缺點
有限元分析的誤差標準（ ）
其中：h
為總體誤差指標， 為規定的允許值
為結構總體的能量範數
為單元的誤差指標
為單元應力誤差能量範數為 的允許值
在實際分析中，應力的精確解是未知的，這時可以用經磨平處理後的應力改進解來代替精確解。
32．自適應分析：
每次對給定網格進行有限元分析後，檢查系統和每個單元的誤差，如果發現
就需要進行改進精度的重新分析。此時有兩種方案可供選擇：
1. （ ）的 h 型改進
2. （ ）的 p 型改進
當單元插值函數(形函數)的階次p為1或2時，其網格經h型改進後所得新網格的單元誤差標準比較均勻，但有時難以使總體誤差指標降低，此時適用於p型改進
第 7 章 線性代數方程組的解法
1. 直接解法：高斯消去法、三角分解法、高斯－約當消去法、分塊解法、
波前法
一般情況下，直接解法仍是首選的解法。直接解法用於大型、超大型問題時效率是不高的，而且在計算過程中不能對解的誤差進行檢查和控制。
2. 迭代解法：雅可比（Jacobi）迭代法、高斯－賽德爾（Gauss－Seidel）迭代法、超鬆弛迭代法、梯度法、共軛梯度法、預條件共軛梯度法（是通過引入預條件矩陣 ，使方程
係數矩陣的條件數降低）
33.迭代解法相較於直接解法的優點：
不保存係數矩陣中高度輪廓線以下的零元素，不對它們計算，節約存儲空間，提高了計算效率，計算過程中可以對解的誤差進行檢查，並通過增加迭代次數來降低誤差，直至滿足解的精度要求。不足之處是每一種迭代算法都可能只適合某一類問題，缺乏通用型。
34.分塊解法的特點是：
(1)在每一分塊中，係數矩陣的元素是先集成後消元修正。
(2)從求解的全過程上看，係數矩陣的集成和消元修正是交替進行。移出內存的剛度係數按塊存入外存，求解時再由後向前逐塊調入內存。這樣，內外存間的數據交換就會消耗更多的時間，但能實現小內存求解大型問題的目標。
當w=1時，稱為（ ）；當w<1時，稱為（ ）；當w>1時，稱為（ ）。
35.在邊界Г上，有三類邊界條件，給定邊界值，給定熱流密度，給定換熱係數和流體溫度
36.變分原理：由（ ），得到了（ ），說明泛函的變分問題／求極值問題與微分方程的邊值問題是等價的。
37. （ ）法是變分問題的直接近似解法，選擇試探函數並對區域積分。
38.（ ）法吸取了有限差分法中離散處理的啟示，又繼承了裡茲法變分計算中選擇試探函數並對區域積分的合理方法；對每個單元作（ ），然後（ ）。
泛函變分問題的近似解法：裡茲法，有限元法
裡茲法：微分方程找泛函（求積分），然後將試探函數代入泛函，然後令該泛函求試探函數待定係數的偏導為0，得到待定係數的解，進而獲得試探函數的表達式T（x，y）=…，然後根據此函數代入想求坐標即可計算任意一點的溫度值。
有限元法：思路同裡茲法，但是僅針對單元內計算，把裡茲法試探函數的待定係數改為形函數，變量改為節點溫度，令泛函數對各節點溫度的偏導為0，即可獲得各節點溫度。
兩種方法的不同點在於：
1)裡茲法假設的試探函數是定義在（ ）上,同時必須滿足（ ）。
2)裡茲法試探函數的選擇要求（ ），才能逼近整個域的未知函數的精度，因而運算複雜，尤其是求解域的材料性質不連續時，困難更大。
有限單元法因為離散成單元了，所以滿足以上兩個條件要求就很容易了。。。
39. 微分方程邊值問題的直接近似解法加權餘數法
包括配點法、子域法、最小二乘法、力矩法（積分法）、伽遼金（Galerkin）法（權函數和試探函數取值一樣）
伽遼金法：對積分邊界積分，被積函數為權函數（等同試探函數）乘（代入了試探函數後的）微分方程，求解得到權函數（同試探函數）的係數即可。
40.溫度場有限元法求解的一般步驟：
1. 連續介質／求解區域離散化2. 選擇插值函數3. 建立單元性態方程4. 組集所有單元性態以求得系統方程組5. 求解系統方程組6. 根據需要進行附加計算