2014年考研數學大綱線性代數重要知識點總結

2020-12-12 中國教育在線

　　(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯繫

　　同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是「極大線性無關組中的向量個數」。經過 「秩→線性相關、無關→線性方程組解的判定」的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。

　　(3)非齊次線性方程組與線性表示的聯繫

　　非齊次線性方程組是否有解對應於向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。

　　三、特徵值與特徵向量

　　相對於前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性，「牽一髮而動全身」。

　　本章知識要點如下：

　　1. 特徵值和特徵向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。

　　2. 相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同：

　　3. 矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特徵值;二是任意r重特徵根對應有r個線性無關的特徵向量。

　　4. 實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似於以其特徵值為對角元素的對角陣。

　　四、二次型

　　這部分所講的內容從根本上講是特徵值和特徵向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為「對於實對稱矩陣，必存在正交矩陣 使其可以相似對角化」，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。

　　本章知識要點如下：

　　1. 二次型及其矩陣表示。

　　2. 用正交變換化二次型為標準型。

　　3. 正負定二次型的判斷與證明。

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