很大程度上取決於數據的真實性、有效性、充足性以及投資經理的良好表現
凱利公式起源於上世紀60年代，原本是為了在信息傳輸過程中，降低噪音在通訊中的幹擾，使噪音幹擾引起錯誤的可能性降低到零，後來被人應用到賭場的投注比例和投資的資產配置上。本文在以上研究的基礎上，將凱利公式運用到FOF/MOM中，但沒有從具體的投資標的市場的收益率和波動率出發，而是基於CTA策略子基金業績表現的穩定性，合理地規避風險，確定各種策略子基金的資產配置比例，以實現穩定的預期收益最大化。
A 凱利公式的起源
凱利公式最初為AT&T貝爾實驗室物理學家約翰·拉裡·凱利根據同事克勞德·艾爾伍德·香農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利說明香農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭金額，而他的內線消息不需完美，即可讓他擁有優勢。凱利的公式隨後被香農的另一名同事愛德華·索普應用於21點遊戲和股票市場中。
1955年6月，美國出現了一個極其有名的電視節目——「64000 Dollar Question」，答題者通過不斷答對題來累積獎金。一時間該節目風靡全美，黃金時段收視率達到85%，而山寨節目也不斷出現。
這樣一個「問答秀」迅速吸引了場外下注來賭贏家的賭盤。由於這檔節目在紐約錄製，東海岸現場直播，而西海岸則有延時，所以當時的新聞爆出一些醜聞——西海岸的賭徒通過電話提前得知結果，趕在了西海岸直播前下注。
凱利看了新聞之後，想到這個如何使具備一定內幕消息(private wire)但是同時有一部分雜音(noise)的賭徒最大化長期獲益的問題，可以使用他們實驗室關於資訊學和噪音傳遞研究的公式來解決。於是，他以一個賽馬的模型，推出了凱利公式的雛形。
凱利的理論是這樣的，對於有一定內部消息的賽馬人來說，第一個自然的想法當然是放入全部的資金，但是這樣就會面臨萬一輸掉血本無歸的風險。而在凱利想要解決的這個問題中，任何一個時刻輸掉全部資金顯然是不符合最大化累積收益的需求的。
真正應該關心的是長期累積的收入(compounding return)，對於累積的收益來說，最後的結果只和輸贏的局數有關，而和輸贏的順序無關，所以他推出了一個最佳的投入倉位比，來最大化長期的累積收益：
，其中
最優投入倉位比例，b=賠率=獲勝收益/失敗虧損，p=獲勝概率=50%，q=失敗概率=1-q=50%。
B 凱利公式的數學推導
假設存在一個賭局，勝率為p，押1元若獲勝可以贏b元，若失敗則輸掉1元，即賠率為b。假設這賭局可不斷地重複玩下去，且每次都壓手上全部資金的比例f（例如f=60%），我們的工作是去決定這個f該選多少，使得在玩過多次賭局後，資金成長最快。
假設At表示玩到第t次賭局後的資金，我們分成下面兩個情況討論：情況A——若第t-1次賭局的結果為贏，則At=At-1(1+bf)；情況B——若第t-1次賭局的結果為輸，則At=At-1(1-f)。
由於從當前時點進入下個時點，有且僅有以上兩種情況，所以，我們可以說：只要下一個時間點贏，就將原來的資金乘上1+bf；只要下一個時間點輸，就將原來的資金乘上1-f。
我們假設總共玩了T次。在T次的賭局裡，贏了W次，輸了L次，則T=W+L。因此，假設期初（t=0）手上的資金為 ，到時間點T的總資金可以表示如下：AT=A0(1+bf)w(1-f)z。
接下來要做的工作便是決定f的取值，使得AT可以最大化。推導過程如下：將原式兩邊同時除以A16，開T次方，然後同取對數得到：
。
由於該賭局可以不斷地重複玩下去，並且我們要最大化長期收益（geometric return），這裡可以合理地假設T逼近無限大。因為勝率為p，那麼此時
會無限接近於p，而
會無限接近於1-p，因此，有
。
上式右邊對f求微分並使其等於0可以得到：
，出f得：
，其中，q=1-p=失敗概率。
C 國內外學者對凱利公式在投資中應用的研究
凱利公式在投資決策中的重點在於將投資資金的對數收益最大化。Thorp和Rotando（1992）證明了凱利模型在連續分布的情形下，財富增長速率存在唯一最大值，並認為投資者應該把大量資產長期投資於標普500指數。此後，Maclean、Thorp、Ziemba（2010）對凱利優化模型的優點和缺點以及理論和實踐進行了全方位的分析。
國內關於凱利公式在投資領域應用的相關文獻大多數圍繞具體投資標的市場的表現來分析。例如虞堪（2013）將凱利公式的一般形態運用到期貨行業的資金控制可行性中，並認為其有較好的指導作用。陸士節、楊朝軍（2013）將服從對數正態分布的股票價格與凱利優化模型相結合，推導出了投資者個股投資的資產配置比例與投資者對個股投資收益率和標準差預測值之間的數學關係。完顏志翰（2015）將凱利公式運用到期權的各種套利組合中，根據最大收益和最大虧損的動態變化導致的賠率變化，適時選擇進場與否以及資金配置。陳迪紅、餘睿（2015）將企業年金的投資範圍概括為股票組合、債券組合兩種類別，基於連續時間下的凱利策略進行資產配置建模，認為能夠有效提高企業年金的投資收益水平。常江、吳新亞、李文龍（2016）在股票資產收益呈正態分布的假設下，通過採用推廣到連續時間下凱利模型確定資產比例的思想，運用遺傳算法求得了資產配置比例的近似最優解。
本文在以上研究的基礎上，將凱利公式運用到FOF/MOM中。沒有從具體的投資標的市場的收益率和波動率出發，而是從CTA策略子基金業績表現的穩定性出發，合理地規避風險，確定各種策略子基金的資產配置比例，以實現穩定的預期收益最大化。
D 凱利公式在賭博中的應用
假如A和B玩賭大小的遊戲，A給了B100塊，B賭對了賺2塊錢，賭錯了輸1塊錢，那麼B每次賭本金的百分之幾能讓自己的收益最大化呢？根據凱利公式
，其中 =最優下注比例，b=賠率=2塊/1塊=2，p=獲勝概率=50%，q=失敗概率=1-q=50%，所以，B的最優下注比例應該是本金的25%。
凱利公式之所以在賭博中長期運用，一個關鍵因素就是，這並非是「一錘子買賣」，而是多次重複、資金可調配的長期策略，並不適用於賭一把就離場的情況。這和投資是同樣的情況，理智的投資者不會做「一錘子買賣」。
另外，若是B一直和A玩賭大小，那麼B將會一直按本金的25%下注，但若是A決定玩21點，贏了賺3塊，輸了虧2塊，那麼B的最優下注比例也會產生變化。這和金融市場的投資是一個道理。我們投資者作為「理性的賭徒」，不論參與股票、期貨或是債券其中的哪一張「賭桌」，都不可能一直按25%的比例永遠下注下去。不論是單個市場還是跨市場，勝率和賠率都在不停地變化，區別於賭大小和擲硬幣，勝率永遠都是50%。
所以，我們認為，凱利公式更適用於資金配置可動態調整的長期投資策略，例如FOF和MOM。
E 在FOF/MOM中的應用
假設我們要做一個以CTA策略為特色的FOF/MOM產品，並且通過前期的層層篩選選出了5隻優秀的子基金，分別是ABCDE。母基金層面的設計思路為「CTA+固收」，子基金資金配置窗口期為1個月。這裡設定子基金資金配置的窗口期非常重要，期限不同，回測出的子基金勝率及賠率都不一樣。
我們搜集了5個子基金最近一年的淨值數據，進行處理後可以得到以下用于衡量其表現的數據。
這裡我們以月為單位，根據過去一年中12個月收益正負情況算出勝率。對於賠率的計算，我們用過去12個月中正收益月的平均收益率所謂每次「賭」贏賺取的「籌碼量」，而用過去12個月中負收益月的平均收益率代表每次「賭」輸所虧損的「籌碼量」。這樣算出5個子基金各自的「賠率」。
這樣根據凱利公式算出每個子基金各自的最優資金配置比例。那麼問題來了，顯然5隻子基金的佔比加起來遠遠超過100%，那要怎麼來理解呢？我們繼續回歸「賭場」的邏輯。假如我和另外四個朋友一起去賭場，每人手裡各有2000萬籌碼，分別玩5種不同的遊戲，各自玩12把後將籌碼匯總，讓總利潤最大化，那麼每次應該投入多少的籌碼呢？在這個例子當中，如果將我們五個人分別視作ABCDE五個子基金，而我們所有的籌碼視作整個母基金的資產，那麼不就是同樣的邏輯了嗎。只是在實際投資過程當中，我們每「賭」一把就是一個月，總共要「賭」一年。
假設我們期初有1個億的資產，那麼按照以上邏輯，每個子基金期初應該分配的資產為：
5隻子基金加起來為6230萬元，那麼剩下的3770萬元就進行固收類的投資。這個是投資相對於「賭博」的優勢！在賭場，每次沒有下注的籌碼就只能「安靜」地「躺」在桌上，而在金融市場，閒置資金卻可以進行「安全墊」投資。
一個月後，我們會根據5隻子基金的最新表現，更新最新的「勝率」和「賠率」，計算出最新的資金分配。這裡需要注意一點，就算更新出來的數據沒有變化，但整個FOF/MOM因為市值波動也有可能導致資金需要重新分配。
最後，根據凱利公式的本質，總結幾點其在FOF/MOM資金配置中應用的關鍵：
第一，FOF/MOM的存續期限越長，或者窗口期越短，效果越顯著。但是實際操作中，窗口期不可能太頻繁，幾乎最短就是一個月，大部分是一個季度。所以FOF/MOM的存續期越長越利於凱利公式的發揮。
第二，如果窗口期時間較長，比如為一個季度，則回測的期限儘量拉長，要保證數據點的充足率，否則測算出的「勝率」和「賠率」可能有嚴重偏差。
第三，用於投資安全墊的固收類資產一定要有足夠的流動性，保證每個窗口期結束時，能夠進行資金的調撥。
第四，凱利公式在FOF/MOM中的運用很大程度上取決於子基金數據的真實性、有效性、充足性以及投資經理表現的穩定性、連貫性、一致性。所以，前期子基金的盡調以及篩選扮演著舉足輕重的角色。
（作者單位：格林大華期貨資產管理部）
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