凱利公式 @    約翰·凱利

2020-11-09 發現探索

約翰·凱利（1923—1965年）是物理學博士。他和香農同在著名的貝爾實驗室任職。

他那篇論文題目原本叫作《信息理論與賭博》，1956年發表，發表時考慮公眾影響改名為《信息率的一種新解釋》。

公式起源於凱利對信息噪音的研究，同屬於香農的資訊理論理論範疇。具體理論深奧，與咱們投資領域無關。

老唐舉個簡單的例子來幫助理解信息噪音。

信息的傳遞是有噪音的，比如你收到一條信息，內容是「索普沒有偷你的錢」。

這句話要傳達的真實信息，可能是以下任何一種：

①索普沒有偷你的「錢」——他偷的是你的手錶。

②索普沒有偷「你」的錢——他偷的是老唐的錢。

③索普沒有「偷」你的錢——他只是拿走了屬於他的那部分。

④索普「沒有」偷你的錢——所以你的錢還在原處。

⑤「索普」沒有偷你的錢——是其他人偷的。

……凱利由此聯想到一個數學命題：假設在賭場、賽馬場或者股市，有個內線經常給你傳遞內幕消息。但一者由於內幕消息不能保證100%正確，二者在消息傳遞過程中或許會因噪音發生誤解（就像巴魯克那位買入聯合煤氣的美女親戚），

那麼，賭徒收到內幕消息後，應該如何下注，才能既保證最大化地贏錢，又能防止因連續多次運氣不好而輸光賭本呢？

在香農教授長途電話噪音問題的研究基礎上，凱利最終推導出著名的凱利公式。

公式為：f=（bp-q）/b。其中，f就是需要計算的最優下注比例，b為賠率，p為勝率，q為敗率=1-p。在這個公式指導下，一個勝率51%，賠率為1∶1的賭局，每次下注比例為（1×51%-49%）/1=2%。舉個簡化的錯誤定價遊戲。

一個公平的拋硬幣遊戲，正反面出現的概率均為50%，即p=50%，q=1-p=50%。

如果此時有個賭局，開出的賠率為2∶1，即正面朝上你贏2元（含本金拿回3元），反面朝上你輸1元，b=2。

很顯然，參與這個遊戲具備顯著的勝率優勢，但是賭徒每次應該拿多少錢下注呢？凱利公式的答案是每次拿出全部資金的25%下注，可以在保證永遠不會出局的前提下，獲得最大化盈利。

計算過程：f=（bp-q）/b=（2×50%-50%）/2=25%。索普的研究成果，解決了如何取得相對於莊家的勝率優勢，而凱利公式則解決了在不同優勢勝率下的最優下注比例問題。

通過凱利公式我們可以發現，有些賭局一分錢都不應該投。比如b≤0的，公式無法計算。什麼是b≤0呢？簡單一點說，就是正面他贏，反面你輸的遊戲。

賭桌上不會有這種遊戲，但證券市場很常見，而且參與者眾。再比如同樣是拋硬幣，勝率還是50%，如果賭局開的賠率是0.9∶1，即正面朝上拿回1.9元，反面朝上輸1元。根據凱利公式計算結果，下注比例f=（0.9×50%-50%）÷0.9×100%=-5.56%，f小於零，不參與。

相反，如果勝率100%的遊戲，賠率只要大於零，無論多小，都應該下注所有資金。因為f=（b×100%-0）÷b×100%=100%。

《巴芒演義》--BY唐書房唐朝

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