流體力學NS方程推導

0 引言 

流體力學的NS方程對於整個流體力學以及空氣動力學等領域的作用非常顯著，不過其公式繁瑣，推導思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導，記錄一下整個推導過程，供自己學習，也可以供大家交流和學習。 

1 基本假設 

空氣是由大量分子組成，分子做著無規則熱運動，我們可以想像，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間斷的現象，例如我們在空間中取出一塊控制體，當控制體中存在分子時，該控制體的密度等量較大，不存在時就會為0，這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控制體積內包含大量分子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統計平均結果，這個結果是穩定的，例如流場變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態方程。 

自然界中宏觀情況的流體運動畢竟佔據大多數，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運動，採用稍微專業一點難度術語是流體滿足連續介質假設。連續介質假設的意思就是說，我們在流場中隨意取出流體微團，這個流體微團在宏觀上是無窮小的，因此整個流場的物理量可以進行數學上的極限微分積分等運算；同時，這個流體微團在微觀上是無窮大的，微團中包含了大量分子，以至於可以進行分子層面的統計平均，獲得我們通常見到的流場變量。 

連續介質假設成立需要滿足：所研究流體問題的最小空間尺度遠遠大於分子平均運動自由程（標準狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級，具體值可以參考分子運動理論），這在大多數宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛採用的基礎，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用於描述湍流。 

有些情況下連續介質假設不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風速儀的金屬絲，直徑通常在1~5微米量級，最小流體微團已經接近分子平均運動自由程，連續介質假設不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個分子平均自由程量級，不過採用連續介質假設進行激波內流場計算時，計算結果仍然可以得到比較合理，並且與實際情況相符，這也給激波問題的研究和解決帶來了基礎性的保證；第二種是分子平均運動自由程特別大，分子平均運動自由程是指兩個分子之間碰撞距離的平均值，這個結果與分子有效直徑，分子運動速度等相關，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運動自由程越大，而在高空情況下，壓力非常低，自由程可能很大，並且大到與飛行器尺度相近，於是連續介質假設失效，此時必須考慮稀薄氣體效應。在層流邊界層情況下，分子平均運動自由程與邊界層之間存在近似關係：  

 從這個關係中，可以發現，當馬赫數非常大但是同時雷諾數非常小的時候，流場微小尺度才可能達到分子平均運動自由程lmd的程度。可以想像一下，在大多數我們能觀察到的情況下，上述公式的結果都是非常小的，滿足連續介質假設，這個公式不成立的情況在大氣層外邊緣，此時大氣分子之間平均動量交換降低，導致粘性變得非常小，雷諾數很高，因此公式計算結果急劇降低，導致連續介質假設失效。 

前面討論了連續介質建設成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續介質假設範圍內的結果。 

2 連續性方程：質量守恆定律的流體表達 

根據質量守恆定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規律：控制體的總質量不隨著運動而變化的，在運動過程中控制體始終由相同流體微團組成，因此利用流場物理量將物理規律用數學公式表達可得： 

 

根據引論1中的內容，上式左邊隨體導數可以採用兩種形式的偏導數表示： 

（1）微元體表達形式： 

 

根據引論1中微元體的隨體導數關係可以得到： 

或者  

（2）張量表達形式： 

 

3 動量方程：牛頓第二定律的流體表達 

根據牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規律：某一時刻，控制體中所有流體微團的總動量隨時間的變化率=控制體中所有流體微團受到的合力。控制體受力主要包括表面力和體積力，表面力作用於物體表面，例如壓力等應力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，切向力通常為粘性力（當然這不是絕對，因為法向力還包括流場可壓縮性引起的法向應力）；體積力作用於流場中每一個流體微團，例如重力，電磁力等。 

因此，牛頓第二定律可以表達為：控制體總動量隨時間變化率=控制體表面力合力+控制體體積力合力（為了推導方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時，將該項加入即可）。 

利用流場變量可以將上述定律表達為數學公式： 

 

其中根據引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導數表達形式， 

 

（1）微元體表達形式： 

 

根據引論2，上式左邊具有這兩種偏導數表達形式（一種根據定義，一種引入質量守恆關係）： 

 

（2）張量表達形式： 

 

根據引論2，上式左邊具有兩種偏導數表達形式（一種定義，一種引入質量守恆）： 

 

（3）補充說明1：粘性應力表達式 

上述公式中，我們將表面力表達為表面壓力+粘性力的形式，其中表面壓力為法向力，粘性力由流體粘性引起，包括法向力和切向力，根據各項同性假設，粘性應力張量可以表達為： 

 

其中，\miu稱為動力粘性係數。 

根據Stokes假設，在通常情況下，體積粘性係數lmd+2/3miu=0，於是上述粘性應力表達為： 

 

（4）補充說明2：粘性應力的空間導數 

在動量方程中，粘性應力的空間導數可以表達為： 

 

如果流場為不可壓縮s=0並且粘性係數不隨空間改變，即溫度不變，可以簡化為： 

 

（5）補充說明3：動力粘性係數表達式： 

該公式中動力粘性係數是流體的基本變量，該係數表徵流體分子之間動量交換的快慢程度，與流場的溫度相關，與壓力等其他變量關係較小，在溫度為100到1900K範圍，可以採用Sutherland公式進行表達： 

 

其中，Tref=110.3，T0和\miu0則可以採用任何溫度的結果，例如在常溫288K情況下，動力粘性係數為1.7894X10-5。 

4 能量方程：能量守恆定律的流體表達 

根據能量守恆定律，流場中取出控制體滿足如下物理規律： 

控制體的總能量增加=控制體受到外力做功+外界向控制體熱傳導 

採用流場變量可以將該物理定律表達為數學形式(e=CvT表示流場內能，內能可以採用定容比熱乘以溫度得到)： 

 

其中，根據引論1和2可知，方程左邊具有兩種偏導數表達形式： 

 

微元體表達形式： 

 

根據引論1和2可知上式具有兩種偏導數表達形式： 

（2）張量表達形式 

A: 總能公式E=e+ v2/2 

根據引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導數表達形式： 

 

B: 內能公式e=E- v2/2 

將總能關係式代入上述公式可得： 

因此可得內能關係式為： 

 

根據引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導數表達形式，略。 

C：焓公式h=e+p/rou

 

將內能關係式代入上式可得： 

 

根據引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導數表達形式，略。 

D：總焓公式h0=h+v2/2=E+p/rou 

 

注意上式中採用了引論2中的內容，將焓關係式代入上式可得： 

 

於是可得總焓關係式為： 

 

根據引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導數表達形式，略。 

E：熵公式Tds=dh-dp/rou 

根據熵公式，可得熵的隨體導數為： 

 

根據引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導數表達形式，略。 

根據熵公式，可以知道，熵的增加主要來自兩個部分，一是粘性力引起，二是熱傳導引起，如果流場中粘性應力和熱傳導都可以忽略，則流場滿足等熵關係。 

（3）補充說明：粘性力耗散 

幾個公式中都存在粘性力的做功項，稱之為耗散項，該項具體表達式可以表示為： 

其中： 

 

5 附件：隨體導數的偏導數表達（控制體/微元體？包含密度？） 

引論1：控制體和微元體的隨體導數表達式 

 

利用隨體導數物理定義和數學上導數定義（求極限方法）容易得到第一個公式，利用控制體積分量的隨體導數物理定義，也容易得到第二個公式，在流體力學教材中也很容易找到這兩種隨體導數的定義。 

為什麼這麼做，寫出這樣一個公式？因為隨體導數是拉格朗日觀點，隨體導數非常符合物理思維，利用隨體導數很容易表達物理規律，例如牛頓第二定律F=ma，因此推導公式過程中經常採用隨體導數。不過流場中物理量通常採用隨時間和空間變化的四維函數，直接利用該函數無法得到隨體導數，只能得到一些偏導數，需要根據隨體導數的物理定義將隨體導數表達成合成偏導數形式。 

引論2：包含密度的控制體和微元體隨體導數 

在後續方程推導中經常出現包含密度的隨體導數情況，將包含密度的隨體導數利用連續性方程進行化簡，可以極大簡化推導難度。包含密度的隨體導數利用了引論1+連續性方程，也就是隨體導數定義和連續性方程兩個規律，具體推導如下： 

 

整理一下這兩個關係式可以得到： 

 

說明物理是控制體還是微元體，帶密度隨體導數都包含兩種表現形式，一種是引論1中的物理定義形式，另一種是加入了連續性方程以後的變形形式，這兩種形式都很重要，為了學好流體力學，都需要牢記。 

為什麼引入引論2，如引論1中所述的理由一樣，利用隨體導數表達物理規律更加方便，然而隨體導數無法直接利用流場物理量計算得到，於是需要各種化簡得到容易處理的結果。