【機器學習數學基礎】動圖解釋泰勒級數(一)

2021-02-19 機器學習算法與自然語言處理

【閱讀時間】10min 3326words

【閱讀內容】通過構造知識聯想鏈條和直觀例子回答什麼是泰勒級數，為什麼需要泰勒級數，泰勒級數幹了什麼，如何記憶這個公式

【原文連結】

https://charlesliuyx.github.io

在遇到一個生僻的概念或者公式時，確認它的幾種不同的表述形式（馬甲）是很重要，也就是定義問題：我們到底要了解的東西是什麼 ＆ 怎麼稱呼：

泰勒公式（也叫 泰勒展開式、泰勒多項式）
泰勒級數

它是微積分學下的一個重要概念，與之有關聯的有：如泰勒定理，多元泰勒公式，以拉格朗日型餘項為代表的各類餘項，審斂法，牛頓差值公式（牛頓級數）（列出為了進行樹狀知識整合和梳理）

數學定義，公式各個部分代表什麼含義先說清楚

個人粗淺總結，初學者產生記不住的感覺大多數情況下是沒有沉下心來想想公式的各部分表示的是什麼東西，梳理一下會清晰很多

【公式】 ＜什麼公式？＞➜ 【多項式】（Polynomials），把多項式的一般形式寫出來，這應該是非常容易理解的概念，即指數不僅僅為2的拋物線的組合

【泰勒】＜諧音「太樂」 ≈ 如果所有小數都能近似成整數那不是太快樂了？＞ ➜ 近似，獲得一個直觀理解

為什麼說它強大呢？

泰勒公式幹的事情就是：使用多項式表達式估計（近似）f(x)在x=a附近的值

那麼如何近似呢？使用一個例子來加深理解

我們需要做的事情（目的）即尋找一條綠色的曲線（多項式的係數c0,c1,c2),在x=0附近(0為上面提到的a)儘可能的與f(x)=cosx的圖像相似（重合）

那如何才能找到這三個參數呢？最為顯而易見的做法就是希望在 x=0的位置，兩個表達式的切線儘量相等，切線即斜率，也就是求導，比較抽象，一步一步來可視化一下

為什麼這個【近似過程】寫的這麼詳細，是為了在過程中體會兩個關鍵點

因為多項式的求導法則可以控制變量，消去低次項，使得 x=a未知的cn容易確定，在之前的例子裡，如下圖所示

階層係數是由一次一次的求導產生的。我們再把項數加兩個，參看下圖，直觀的感受一個n!的誕生

首先，低次項會變為0，這樣可以很方便的通過計算f(x)的n次求導的表達式，帶入x=a即可得到cn的值，階層其實是多次求導的係數

其實，某一點處的導數值信息<=>那一點附近的函數值信息 這個直觀感覺，是很重要的

如果把對cos(x)函數的處理過程一般化，泰勒展開式除餘項外的部分顯而易見了，下面這幅動圖（由於太大，微信無法展示，只能截取一張圖）就是不同項對函數的描述能力，並且擴展到 x=a 一般化的過程

上篇文章內容到這裡就結束了，下篇文章包括內容為：從幾何角度理解泰勒公式，泰勒級數的介紹和對全文的總結！

參考：文章所有圖片來自3b1b視頻

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