日期：2019年1月17日
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來源：算數學苑
高等數學幹嗎要研究級數問題？
是為了把簡單的問題弄複雜來表明自己的高深？ No,是為了把各種簡單的問題/複雜的問題，他們的求解過程用一種通用的方法來表示。
提一個問題，99*99等於多少？相信我們不會傻到列式子去算，口算也太難了而是會做一個迂迴的方法，99*(100-1)，這樣更好算。那麼995*998呢？問題更複雜了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接計算要複雜，但是口算卻成為了可能。
歸納一下，x*y這樣的乘法運算或者冪次運算，如何直接計算很麻煩的話，我們可以用因式分解的方法(中學生都能理解)來求解。
但是因式分解仍然不夠通用，因為我們總是需要通過觀察"特定"的待求解式子，找到一種規律，然後才能因式分解，這是我們從小學到中學數學方法的全部：特定問題特定的解答方法。那麼，到了高等數學，怎麼辦？研究一種方之四海皆準的，通用的方法。
泰勒級數的物理意義是什麼？就是把方程g(x)=0的解，寫成曲線方程的形式看看和X軸有什麼交 點。
例如f(x)=x^2=5等價於g(x)=x^2-5=0和x軸的交點。而這個曲線交點可以用直線切線的逼近方法(牛頓迭代法)來實現，這就是泰勒級數的物理意義:點+—次切線+2次切線+... + N次切線。每次切線公式的常數，就是泰勒級數第N項的常數。OK,從泰勒級數的式子可以看到，為了保證兩邊相等，且取N次導數以後仍然相等，常數係數需要除以n!，因為x^n取導數會產生n!的係數。
泰勒級數，就是切線逼近法的非跌代的，展開式。泰勒公式怎麼來的，其實根據牛頓逼近法就可以得到從1階一直可以推導到N階。假設f1(x)=f(x)-f(a)，由牛頓逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以f(x)=f(a)+f』(a)(x-a)+o(x-a)^2同理，假設f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
兩邊求導,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定積分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那個高階無窮小(需要證明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次類推，最後就有了泰勒公式。另一種證明過 程乾脆就是先寫出來g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然後從等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a).就得到所有的a0-an的泰勒展示係數了。
泰勒級數展開函數，能做什麼？對於特定的x取值，可以求它附近的函數。y=xA100展開以後可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等於多少，計算過程和結果不但更直觀，而且可以通過捨棄一些高階項的方法來避免不必要的精度計算，簡化了計算，節省了計算時間(如果是計算機計算複雜數字的話)。
在圖像處理的計算機軟體中，經常要用到開方和冪次計算，而Quake III的原始碼中就對於此類的計算做 了優化，採用泰勒技術展開和保留基本項的辦法，比純粹的此類運算快了4倍以上。
還可以做什麼呢？對於曲線交點的問題，用方程求解的辦法有時候找不到答案，方程太複雜解不出來，那麼用泰勒級數的辦法求這個交點，那麼交點的精度要提高，相當於泰勒級數的保留項要增加，而這個過程對應於牛頓--萊布尼茨的迭代過程，曲線交點的解在精度要求確定的情況下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒技術用來求解高方程問題，是一種通用的方法，而不是像中學時代那樣一種問題一 種解決辦法，高等數學之所以成為"高等"，就是它足夠抽象，抽象到外延無窮大。
那麼，更感興趣的一個問題是，對於高階的微分方程表達的問題，怎麼求解呢？泰勒級數不行了， 就要到傅立葉級數-傅立葉變換-拉普拉斯變化。這幾個工具廣泛用於各個領域的數學分析，從信號與系統到數理方程的求解。
中學數學和高等數學最大的區別是什麼？中學數學研究的是定解問題，例如根號4等於2。高等數 學研宄什麼呢----它包含了不定解問題的求解，例如用一個有限小數位的實數來表示根號5的值。我們用泰勒級數展開求出的根號5的近似值，無論保留多少位小數，它都嚴格不等於根號5,但是實際應用己經足夠了。
不可解的問題，用高等數學的通解辦法，可以求出一個有理數的近似解，它可以無限接近於上帝給出的那個無理數的定解。通解可行性的前提是，我們要證明這種接近的收斂性，所以我們會看到高等數學上冊的課本裡面，不厭其煩的，一章接一章，一遍又一遍的講，一個函數，在某個開區間上，滿足某個條件，就能被證明收斂於某種求和式子。初等數學求的是定解，那麼如果沒有定解呢？高等數學可以求近似解。牛頓萊布尼茨就是切線逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是問題是根號內的無理數仍然無法表示出來。
那麼逼近法求一個數的N次方根就派上用場了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被開方數。
例如，A=5, 5介於1的3次方至2的3次方之間。我們可以隨意代入一個數m，例如2,那麼：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位數。公式會自動反饋到正確的數值。
具體的求解過程：先說說泰勒級數：一個方程，f(x)=0,求解X，它唯一對應x-f(x)二維圖像上的 一條曲線。那麼x的求解過程可以用牛頓-萊布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲線和X軸的交點。牛頓迭代法可以用來求解線性方程的近似解。
那麼如何求解非線性方程呢？ f(x)用泰勒級數展開，取前N項(通常N = 2)，得到一個線性的方程，這個方程相當於是原來 的曲線在求解點附近做了一條切線，其求解過程和牛頓迭代法等價。迭代次數越多，越接近非線性。用泰勒級數來分解sin(t)，把一個光滑的函數變成一些列有楞有角的波形的疊加。用傅立葉級數來分解方波， 把有楞有角的波形變成一些光滑曲線的集合。
但是傅立葉級數捨棄項的時候，會產生高頻的吉布斯毛刺(上升下降的邊沿，迪利赫裡條件不符合)。局部的收斂性不如泰勒級數展開----因為泰勒級數展開有逐項衰減的常數因子。
舉個例子，用泰勒級數求解歐拉公式。沒有歐拉公式，就沒有傅立葉變換，就沒有拉普拉斯變化，就不能把高階導數映射到e的倒數上面，也就無法把微分方程等價為一個限行方程。歐拉公式有什麼用？它把實數的三角運算變成了複數的旋轉運算，把指數運算變成了乘積運算，把純微分方程的求解過程變成了指數方程的求解過程，大大簡化了運算。
推廣一下。怎麼分析一個函數?怎麼分析一個幾何的相交問題?怎麼解決一個多維的問題？初等的方法是根據函數或者圖形的幾何性質，去湊答案----當然大部分情況是湊不到答案的，因為能湊到答案是因為問題/題目給出了一些特殊的數學關係以使得我們恰好能湊到答案！
例如一個圓球在正方體裡面，求通過某個頂點的切面方程或者距離什麼的，我們可以通過做輔助面求得。但是這個求解太特殊了，對於普通的 點，例如切面方程13x+615y+72z-2=0這樣的，初等方法就無能為力了。說白了初等方法就是牛頓在《自然哲學的數學原理 》提到的幾何方法，牛頓並沒有把微積分上升到解析的思想。
普通數學分析則提出了解析的代數運算思想，把具體的問題用通用的方式來求得，而問題的題設只是一種把函數的實際參數帶入形式參數的過程，使得問題可以形式化了----如果數學問題不能形式化就不能通過狀態機來求解，試想，計算機怎麼會畫輔助線呢？幾何圖形是有意義的，但是形式求解本身沒有意義，它必須把實際的"意義 "問題變成代數運算，例如求最大值最小值變成導數=0。電路分析當中的模型是什麼？就是數學建模。
因為電壓和電流是可以測量的量，那麼我們就要看什麼量是不變量/變量，什麼量是自變量/因變量。如果電壓是不變量，我們認為是理想電壓源；如果電流是不變量就是理想電流源，如果電壓電流的比例不變就是恆定電阻；如果電壓電流乘積不變就是理想功率源。把控制電路作為一個整體，那麼電壓/電流控制電壓/電流，作為一個黑盒，對外的特性就是電壓轉移係數，電流轉移係數，轉移電阻和轉移電抗。
在物理學的電場分析當中電壓/電勢是一個矢量，但是到了集總電路分析的領域就退化成了一個標量。對於複雜問題的分析，好比物理學當中的動量/能量守恆，電路分析是以電流守恆為基礎的，於是就有了節電電流法和環路電壓法的概念。這些概念的建立都是為了分析的目的而存在的，是分析工具。
我們首先得到一個工具，當 直接分析很困難的時候，我們採用逼近的方法來解決----因為極限就是我們所求的。正是因為解析的思想 是一種通用的求解方式，愛因斯坦在晚年才會追求4大場的統一理論，當然他忽略了這個"解析"的形式系統本身在量子的尺度上失效了，忽略了不確定性和概率的影響，令人惋惜。
說的太遠了，高數裡面為什麼有那麼多種正交展開？泰勒級數，傅立葉級數，羅朗級數----其實就是因為初等的方法無法精確分析出定解，那麼就去尋找一種"不斷逼近"的方法來求解。複變函數研宄的就是如何用冪級數不斷的逼近原函數這個基本命題。
泰勒是怎麼想出來的？
為什麼泰勒級數，傅立葉級數，這些展開式都可以寫成某個通項公式的和呢？是不是真理都是簡單的美的，就像畢達哥拉斯所設想的一樣？這個觀點也許搞反了因果的方向。
我們看一下泰勒級數是怎麼得到的。泰勒假設f(x)=f(a)+f』(x)(x-a)+o(x-a)^2,這個是牛頓萊布尼茨公式可以推出來的，那麼有了一次項以後，如何繼續逼近？方法類似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f』(x)(x-a)，那麼可以寫出 g2(x)=f(x)-f(a)-f』(x)(x-a)兩邊對x求導再求不定積分，就得到了 2階的泰勒級數。依次類推，可以得到N階的泰勒級數。
由於每一階的推導過程是"相似"的，所以泰勒項數的子項肯定也就具有了某種形式意 義上的相似性。說白了，不是因為客觀存在某種規律使得函數可以展開成具有通項公式的冪級數，而是為了把函數展開成具有通項公式的冪級數再去看每個子項應該等於什麼，然後為了保證嚴格再給出收斂以及一致收斂的條件。
不是客觀存在某種''簡單而且美"的真理，而是主體把某種''簡單而且美"的形式強加給客觀，再看客觀在"強加"語境下的特性如何。傅立葉級數的思想，頻率分析的思想，和這個相似，是把我們心中的某個概念賦予外界的實在，按主管意識的想法來拆借外界----只有這樣，思想才能被理解。
當然，實數範圍的泰勒級數和傅立葉級數展開的條件仍然比較嚴格，複變函數引入了對應的洛朗級數和傅立葉/拉普拉斯變換，通用性強多了。說白了，複變函數就是函數逼近論。為了解決初等思想沒法解決的不可能想明白的問題而引入的高等方法。逼近思想的一個應用就是理解曲率的公式A=|y』』|/sqrt(1+y』A2)。畫出逼近圖形就可以理解了，用兩個相似三角形就可以證明這個公式。
複變函數說白了就是2維正交元素組成的數域。
(1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一個正交的表達式，它保留了兩個方向上的分量，使得2維分析變得可能。這樣一來，高等數學當中的曲線積分，積分的變量不再是x和y而是只剩下了z，形式上簡 單多了。
假設曲線積分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,顯然滿足格林公式。
然後負數積分
S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。
而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)實部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虛部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，實部和虛部相加就是S1，也就是說，S是S1(曲線積分和路徑無關)的複數形式。我們可以驗證S(z^2)dz 沿不同積分路線從起點到終點的積分結果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，顯然滿足柯西-黎曼條件。於是它和實數積分的格林公式統一了。
實際的模型總是難以精確的解釋的，所以我們創造一些理想模型去逼近現實。當然，兩者不會相等， 但是只要誤差在容許的範圍之內，我們認為數學的分析就成功了。這就是一切數學建模的思想。工科電子類的專業課，第一門數學建模的課程就是電路分析。這裡傳輸線的問題被一個等效電路替代了。
實際電源被一個理想的電壓源加上一個電阻替代了，三級管放大電路的理論模型就是電流控制的電流源。一切都是為了分析的方便。只要結果足夠近似，我們就認為自己的理論是有效的。
出了這個邊界，理論就需要修正。理論反映的不是客觀實在，而是我們''如何去認識"的水平，理論是一種主觀的存在，當實際情況可以影射到同一種理論的時候，我們說理論上有了一種主觀的」普遍聯繫」，就像電路分析和網絡流量的拓撲分析有很多共同點。這種普遍聯繫不是客體的屬性，只和主體的觀點有關。
說點題外話，對於工科電子類/計算機類的學生來說，我們學習了太多了經過精簡壓縮貫通的課程， 以至於不知道了這些理論原有的面貌。有一種趨勢就是把重要的思想性的原理性的東西去掉只留下工程實用性的內容下來。
於是工科學生學到的都是"閹割"過的科學與技術----缺少靈魂的學問是無法用來做研究的。沒有強大的數學基礎，所謂的"科研"，只能是某種一邊發明數學一邊湊答案的抓狂，只能是空談。 還是老老實實的做項目，搞軟硬體研發，開發市場，做技術支持，寫報告，等等.
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