黃金分割比——斐波那契數列

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列。

斐波那契(Leonardo Fibonacci)是13世紀義大利著名的數學家，因父親在北非的阿爾及利亞經商，所以較早地接觸了東方數學，特別學習了當時較流行的羅馬記數法、先進的「印度一阿拉伯數字記數法」以及東方的乘除計算法。1202年斐波那契針對東方數學寫了{Liber Abaci>(算經)，在書裡他第一個介紹了印度一阿拉伯記數法。之後，他又完成了《幾何實習》(1220年)和《四藝經》(1225年)兩部著作。當時，歐洲雖然知道一些阿拉伯記數法和印度算法，但僅局限於修道院內，一般人還是用羅馬數學記數法而且儘量避免使用「零」。斐波那契的《算經》，介紹了阿拉伯記數法和印度人對整數、分數、平方根、立方根的運算方法，在歐洲大陸產生了極大的影響，改變了當時數學的面貌，被認為是歐洲人寫的一部偉大的數學著作，在兩個多世紀中一直被奉為經典著作。

1．2  斐波那契數列

在《算經》中，斐波那契提出一個有趣的問題：假定有一雄一雌一對剛出生的小兔，一個月後它們就能長大成大兔，並開始交配，在第二月結束時，雌兔子產下另一對兔子，過了一個月後它們也開始繁殖，如此這般持續下去。每隻雌兔在開始繁殖時每月都產下-x~兔子，假定沒有兔子死亡，問一對剛出生的小兔，一年內能繁殖成多少對兔子?

一月底，最初的一對兔子剛開始交配，所以只有1對兔子；二月底，雌兔產下一對兔子，共2對；三月底，最老的雌兔產下第-x~兔子，共3對；四月底，最老的雌兔產下第三對兔子，兩個月前生的雌兔產下一對兔子，共5對，⋯⋯ ，如此這般計算，兔子對數分別是：1，2，3，5，8，l3，21，34，55，89，144，233。這就是著名的斐波那契數列，數列中的每一項，稱為「斐波那契數」。第l3位的斐波那契數，即為一對剛出生的小兔一年內所能繁殖成的兔子的對數，即233。從斐波那契數的構造明顯看出：斐波那契數列從第3項開始，每項都等於前面兩項之和。

斐波那契數列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N*），那麼這句話可以寫成如下形式：[2] 

顯然這是一個線性遞推數列。通項公式

(如上，又稱為「比內公式」，是用無理數表示有理數的一個範例。)

註：此時

有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向於無窮大時，前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

自然界中的斐波那契數列
自然界中到處可見費氏數列的蹤跡。樹技上的分枝數，多數花的瓣數都是費氏數：火鶴 1、百合 3、梅花 5、桔梗常為 8、金盞花 13、…等等。費氏數列也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針，網頁上的圖；仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，而另一組常出現的數字是「5 及 8」。向日葵也是一樣，常見的螺線數目為「34 及 55」，較大的向日葵的螺線數目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及 233」。這些全都是費氏數列中相鄰兩項的數值。數數看，下圖這朵向日葵的螺線數目是多少？

植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。

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