知雙曲線,求1/FA-4/FB的取值範圍?雙曲線還有個知識點——須知

2020-12-09 玉w頭說教育

原題

原題：若F為雙曲線C：x^2/4－y^2/5=1的左焦點，過原點的直線L與雙曲線C的左、右兩支分別交於A，B兩點，則1/|FA|－4/|FB|的取值範圍是？

原題

這道題是雙曲線的知識和函數的單調性的知識的結合題，就是將1/|FA|－4/|FB|中的FA和FB用FA或者FB表示出來，出現一個變量的情況，在根據函數的單調性來判斷1/|FA|－4/|FB|的取值範圍。

所以這裡我們需要知道的是雙曲線的知識點。

雙曲線知識點的回顧

定義：若F1，F2是兩定點，|PF1|－|PF2|=2a<|F1F2|（a為常數），則動點P的軌跡是雙曲線。

性質：⑴雙曲線的方程有兩種形式，一種是焦點在x軸上，一種是焦點在y軸上。

實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c。

準線方程為x=±a^2/c。

離心率為e=c/a>1。

通經的長度為2b^2/a，即當x等於焦點時的2y正數值。

漸近線方程為y=±bx/a。

⑵等軸雙曲線。等軸雙曲線就是雙曲線a^2=b^2時 ，即x^2－y^2=±a^2，其漸近線為y=±x，離心率為e=√2.

上述就是一般的資料上都能搜索的雙曲線的知識點，但是要想解決這道題，我們還要知道雙曲線的這個知識點，即雙曲線是中心對稱圖形。

得出FA和FB的關係

得出FA和FB的關係是解決該題的關鍵。

這裡我們就可以藉助雙曲線的定義和雙曲線是中心對稱圖形的知識點來得出FA和FB的關係。

為了更為直觀的準確的解題，我們均要做出圖形。

圖二

根據題意做出圖二，設該雙曲線的右焦點為F＇，連接BF＇和AF＇。

根據雙曲線是中心對稱圖形，所以A點和B點根據原點對稱，所以△AOF≌△BOF＇，這裡的O點是原點。所以|AF|=|BF＇|，再根據雙曲線的定義有|BF|－|BF＇|=2a=4，所以|BF|－|FA|=4，所以|BF|=|FA|+4。

所以這樣就根據雙曲線的這個中心對稱性得到了FA和FB的關係。

用函數的單調性來解決取值範圍的題

對於一般要求誰誰的取值範圍的題，都會藉助函數的單調性來解決。

答案

用函數的單調性解決問題的時候自然離不開方程。所以我們可以藉助FA和FB的關係，將1/|FA|－4/|FB|變成函數方程的形式。

設|FA|=x，則有函數方程為f(x)=1/x－4/(x+4)，(x≥1)。註：FA最小值時就是與x軸重合的時候，此時FA的長度為1。

所以只要求出函數方程為f(x)=1/x－4/(x+4)，(x≥1)的取值範圍就求出1/|FA|－4/|FB|的取值範圍，即將該題中的取值範圍轉化成求函數的問題上來。

令 一次導數f＇(x)=－1/x^2+4/(x+4)^2=(x－4)(3x+4)/x^2(x+4)^2=0，因為x≥1，所以3x+4、x^2和(x+4)^2的值均都大於0，即不能等於0，所以x－4=0，解得到x=4。

當x∈(1,4)時，f＇(x)<0，所以函數f(x)單調遞減；當x∈(4,+∞)時，f＇(x)>0，所以函數f(x)單調遞增。

所以當x=4時，函數f(x)取最小值，即f(x)min=f(4)=1/4－4/8=－1/4。

又因為f(1)=1/1－4/5=1/5，而當x>4時，f(x)=1/x－4/(x+4)=(－3x+4)/x(x+4)<0恆成立，只是隨著x的不斷增大不斷的趨近於0，所以函數f(x)的最大值為f(1)=1/5。

f(x)的大致圖像

所以就得到1/|FA|－4/|FB|的取值範圍，即為(－1/4,1/5)。

總結

該題主要是藉助了雙曲線的中心對稱圖形的性質和雙曲線的定義得到了FA和FB的關係，然後又將1/|FA|－4/|FB|轉化成了函數的形式，通過求函數的單調性和極值的問題求解出了1/|FA|－4/|FB|的取值範圍。

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