標準正態分布

2022-01-01 三行科創

由上一節，我們知道當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標準正態分布. 標準正態分布有很多特殊性，其概率密度函數有很好的性質，其大小可以通過查表獲得（見分享圖片），所以在處理一般正態分布的問題的時候往往先轉化為標準正態分布. 

預備知識

分布函數是概率密度函數的自變量從負無窮到某定值對應因變量取值累加的結果，又叫累計概率函數，常用F(x)表示. 於是

如果我們知道概率密度函數為f(x), 那麼要算隨機變量取a到b之間的概率大小P(a≤X≤b),就可以利用分布函數F(x)，即

從正態分布到標準正態分布

正態分布的密度函數

令上式中的μ = 0,σ = 1得到標準正態分布的密度函

有了概率密度函數之後，就可以畫出概率密度函數圖形如下

圖1 標準正態分布

如果隨機變量服從非標準正態分布X~N(μ,σ^2)，那麼如何轉化為標準正態分布呢？

仔細觀察二者的密度函數，只需要進行簡單的線性變換，令Y=(X-μ)/σ, 那麼Y一定是服從標準正態分布的.

簡單證明

其中表示隨機變量X的分布函數，表示隨機變量Y的分布函數.

例  隨機變量X服從均值為10，方差為5²的非標準正態分布, 即X~N(10,5²), 請將其轉化為標準正態分布.

分析與解答   所謂的標準化並不是改變原來隨機變量的分布(也不能改變)，而是用一個新的變量代替原來的隨機變量進行研究，也就是數學上常用的轉化思想. 對於這個問題，只需要作 X 的線性函數Y=(X-10)/5，對應的，Y就服從標準正態分布,即Y~N(0,1).

上期回顧  正態分布

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