泊松分布和指數分布:10分鐘教程

2021-02-20 程序猿

來自：阮一峰的網絡日誌

連結：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html

大學時，我一直覺得統計學很難，還差點掛科。

工作以後才發現，難的不是統計學，而是我們的教材寫得不好。比起高等數學，統計概念其實容易理解多了。


我舉一個例子，什麼是泊松分布和指數分布？恐怕大多數人都說不清楚。

我可以在10分鐘內，讓你毫不費力地理解這兩個概念。

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定頻率的。

●某醫院平均每小時出生3個嬰兒

●某公司平均每10分鐘接到1個電話

●某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉

●某網站平均每分鐘有2次訪問、前端

它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？


有可能一下子出生6個，也有可能一個都不出生。這是我們沒法知道的。

泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發生概率。


上面就是泊松分布的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函數關係，t 表示時間，n 表示數量，1小時內出生3個嬰兒的概率，就表示為 P(N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。

接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是0.25%，基本不可能發生。


接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是80%。



泊松分布的圖形大概是下面的樣子。


可以看到，在頻率附近，事件的發生概率最高，然後向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生3個嬰兒，這是最可能的結果，出生得越多或越少，就越不可能。

二、指數分布

指數分布是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬於指數分布。

●嬰兒出生的時間間隔

●來電的時間間隔

●奶粉銷售的時間間隔

●網站訪問的時間間隔

指數分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個嬰兒要間隔時間 t ，就等同於 t 之內沒有任何嬰兒出生。



反過來，事件在時間 t 之內發生的概率，就是1減去上面的值。



接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是52.76%。



接下來的15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率是24.92%。



指數分布的圖形大概是下面的樣子。


可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔2小時才出生的概率是0.25%，那麼間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近於0？

三、總結


一句話總結：泊松分布是單位時間內獨立事件發生次數的概率分布，指數分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。

請注意是"獨立事件"，泊松分布和指數分布的前提是，事件之間不能有關聯，否則就不能運用上面的公式。

[說明] 本文受到 nbviewer 文檔的啟發。

來自：阮一峰的網絡日誌

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