1. ( 15分 ) 如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板(∠M=30°)的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊0M與OC都在直線AB的上方．
（1）將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周．如圖2，經過t秒後，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時0N是否平分∠AOC?請說明理由；
（2）在(1)問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那麼經過多長時間OC平分∠MON?請說明理由；
（3）在(2)問的基礎上，經過多長時間0C平分∠MOB?請畫圖並說明理由．
【答案】 （1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=2∠COM=150°，
∴∠COM=75°，
∴∠CON=15°，
∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，
解得：t=15°÷3°=5秒；
②是，理由如下：
∵∠CON=15°．∠AON=15°，
∴ON平分∠AOC
（2）解：5秒時OC平分∠MON，理由如下：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
∴三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，
設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，
∴∠AOC-∠AON=45°，
可得：6t-3t=15°，
解得：t=5秒：
（3）解：OC平分∠MOB
∴∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，
∴三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，
設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，
∴∠COM為 (90°-3t)÷2，
∵OC平分∠MOB，
可得：180°-(30°+6t)= (90°-3t)÷2，
解得：t= 70/3 秒；
如圖：
【考點】一元一次方程的其他應用，角的平分線，角的運算
【解析】【分析】（1） ①根據角平分線結合已知條件可得∠COM=75°，從而求得∠CON=∠AON=15°，根據旋轉即可求得時間t；
②由 ①知∠CON=∠AON=15°，從而可得ON平分∠AOC.（2） 根據角平分線結合已知條件可得∠CON=∠COM=45°，根據題意可設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，由∠AOC-∠AON=45°，列出方程，解之即可. （3）根據題意可設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，由角平分線和鄰補角可得180°-(30°+6t)= (90°-3t)÷2，解之即可.
2. ( 11分 ) 以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝60°，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．
（註：∠DOE＝90°）
（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE＝________；
（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，請說明OD所在射線是∠BOC的平分線；
（3）如圖3，將三角板DOE繞點O逆時針轉動到某個位置時，若恰好∠COD＝ 0.2 ∠AOE，求∠BOD的度數？
【答案】 （1）30（2）解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝ 0.5 ∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射線是∠BOC的平分線
（3）解：設∠COD＝x，則∠AOE＝5x．
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°
∴∠BOD的度數為65°
【考點】角的平分線，角的運算
【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案為：30；
【分析】（1）根據角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；（2）根據角平分線的定義得出 ∠COE＝∠AOE＝ 0.5 ∠COA， 根據角的和差及平角的定義得出 ∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°， 根據等角的餘角相等得出 ∠COD＝∠DOB， 故 OD所在射線是∠BOC的平分線 ； （3） 設∠COD＝x，則∠AOE＝5x ，根據平角的定義得出 5x+90°+x+60°＝180°， 求解算出x的值，從而求出∠COD的度數，進而根據 ∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。
3. ( 13分 ) 閱讀下面的材料：
如圖1，在數軸上A點表示的數為a，B點表示的數為b，則點A到點B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數減去左邊的數表示，即AB=b-a．請用上面的知識解答下面的問題：
如圖2，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動3cm到達A點，再向左移動1cm到達B點，然後向右移動6cm到達C點，用1個單位長度表示1cm．
（1）請你在數軸上表示出A、B、C三點的位置：
（2）點C到點A的距離CA=________cm；若數軸上有一點D，且AD=4，則點D表示數________；
（3）若將點A向右移動xcm，則移動後的點表示的數為________；（用代數式表示）；
（4）若點B以每秒3cm的速度向左移動，同時A、C點分別以每秒1cm、5cm的速度向右移動．設移動時間為t秒，試探索：CA-AB的值是否會與t的值有關？請說明理由.
【答案】（1）解：點A表示-3，點B表示-4，點C表示2，如圖所示，
（2）5；1或-7
（3）-3+x
（4）解：CA-AB的值與t的值無關.理由如下：由題意得，點A所表示的數為-3+t，點B表示的數是-4-3t，點C表示的數是2+5t，
∵點C的速度比點A的速度快，
∴點C在點A的右側，∴CA=（2+5t）-(-3+t)=5+4t,
∵點B向左移動，點A向右移動，
∴點A在點B的右側，
∴AB=（-3+t）-（-4-3t）=1+4t，
∴CA-AB=(5+4t)-(1+4t)=4.
【考點】數軸及有理數在數軸上的表示，兩點間的距離
【分析】（1）在數軸上進行演示可分別得出點A，點B，點C所表示的數；
（2）由題中材料可知CA的距離可用右邊的數減去左邊的數，即CA=2-（-3）；
由AD=4，且點A，點D的位置不明確，則需分類討論：當點D在點A右側時，和當點D在點A左側時，兩種情況；
（3）向右移動x，在原數的基礎上加「x」；
（4）由字母t分別表示出點A，點B，點C的數，由它們的移動方向不難得出點C在點A的右側，點A在點B的右側，依此計算出CA，AB的長度，計算CA-AB的值即可.
試卷知識點分析