初中數學初二上冊練習題講解,利用角平分線的性質巧證線段的和差

2020-12-11 初中數學習題解析

如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分線交於點P，PE⊥AB且交AB的延長線於點E，PF⊥AC且交AC的延長線於點F。

求證：BC=BE+CF

1、根據PB、PC是∠ABC、∠ACB的外角平分線可知，我們添加輔助線PD⊥BC交BC於點D。此時我們可以角平分線的性質證明：PD=PE=PF

2、第二步可以利用「斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等」來證明Rt△PFC和Rt△PDC，Rt△PEB和Rt△PDB。

3、利用「全等三角形的對應邊相等」得到結論：CF=CD，BD=BE

4、觀察圖形可以發現BC=CD+BD=BE+CF

證明：作PD⊥BC交BC於點D

∵CP平分∠FCD，PF⊥AC且交AC的延長線於點F，PD⊥BC交BC於點D

∴PF=PD（角平分線的性質）

∵BP平分∠CBE，PE⊥AB且交AB的延長線於點E，PD⊥BC交BC於點D

∴PE=PD（角平分線的性質）

在Rt△PFC和Rt△PDC中

PC=PC（公共邊），PF=PD（已證）

∴Rt△PFC≌Rt△PDC

∴CF=CD（全等三角形的對應邊相等）

在Rt△PDB和Rt△PEB中

PC=PC（公共邊），PE=PD（已證）

∴Rt△PDB≌Rt△PEB

∴BD=BE（全等三角形的對應邊相等）

觀察圖形可知BC=CD+BD=BE+CF

即BC=BE+CF

練習

已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線。

求證：AC+CD=AB

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