電子設計應用2004年第9期
本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/3515.htm摘要：本文簡要地論述了FFT和多相位DFT濾波器組在響應方面的差異。一般而言，多相位DFT(甚至包括任何濾波器組，比如PFT)在穩態條件下有著很好的相鄰信道抑制性能，而瞬態響應卻很糟糕。這符合了濾波器衝激響應結論。通過對一個典型的1024子帶濾波器組研究的簡單例子說明這些不同點。
引言
濾波器組頻率響應的研究是一個非常複雜的課題。這方面的大多數文章只研究穩定狀態下的響應，事實上，雷達和其它突發方式的信號具有瞬時的特性。因此，了解濾波器組的瞬時性能是非常重要的。一般而言，頻率分辨特性越好，穩定下來需要的時間越長。這是因為越是陡峭的濾波器，其需要的抽頭就越多、衝激響應時間越長。因此，在穩定期間，濾波器抽頭沒有充滿，相鄰信道的頻率響應實際上比非加權的FFT濾波器組還要差。
本文將對FFT和多相位DFT濾波器組進行比較，包括穩定狀態和瞬時條件的情況。同時也簡要地分析了過抽樣和所謂的「最小相位」濾波器的內容。
濾波器組穩定狀態下的
頻率響應
頻率響應的比較
眾所周知，管道FFT的有效濾波器響應是Sinx/x (Sinc)函數，對很多應用，它不能提供足夠的相鄰信道抑制能力。使用簡單的窗口函數，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善濾波器的旁瓣抑制，代價是主瓣寬度減小。通過設計適當的濾波器組，比如PFT和多相位DFT,可以改善頻率響應特性。
有效噪聲帶寬
濾波器性能的另一個重要參數是有效噪聲帶寬(ENB)。表1給出了幾種濾波器組的比較。
由表1可知，Blackman-Harris窗口加權的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上損失超過3dB ；而一個8抽頭多相位DFT(如下面要說明的一個8倍變換長度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪聲帶寬，信噪比損失只有1dB 。
圖1 2倍過抽樣、非加權、1024子帶管道FFT瞬態響應
圖2 2倍過抽樣、5抽頭、1024子帶多相位DFT瞬態響應
圖3 32倍過抽樣、5抽頭、1024子帶多相位DFT瞬態響應
圖4 2倍過抽樣、5抽頭、最小相位、1024子帶多相位DFT瞬態響應
一般時域考慮
時域抽樣窗口
對簡單的窗口抽樣，窗口中的抽樣點數目等於它自身的變換長度。為了獲得更好的濾波效果，需要使窗口中的抽樣點數目大於變換長度。理論上，窗口的大小可以為任意長度。在多相位DFT當中，它通常是變換長度的整數倍(2x，3x等)，但是在WOLA實現中，它可以是任意長度。比方說，一個1024子帶的濾波器組可能需要4096個輸入抽樣(4倍幀長度)作為第一個全輸出的幀。對於PFT濾波器組，需要的抽樣點數目等同於級聯濾波器的衝激響應，但實際效果類似於獲得第一個全輸出幀需要的抽樣點數目，遠超過了幀的長度。
過抽樣
影響處理吞吐量速率的另一個因素是輸出濾波器需要的過抽樣程度。即使獲得臨界抽樣(抽樣速率正好等於奈奎斯特速率)也需要交迭處理。使用上面的例子，形成1024子帶的第一個全輸出幀需要4096個抽樣。要實現臨界抽樣就意味著1024子帶的下一幀在時間上必須與前一幀相鄰，並且輸出抽樣速率必須等於輸入抽樣速率。這可以通過下一組4096個抽樣點的起始延時1024個抽樣點、並進行4次交迭處理來實現。要實現過抽樣，需要增加交迭的次數。再用以上的例子，2倍的過抽樣將需要4096個抽樣的延時，而通過8次交迭處理，僅需512個抽樣即可滿足上述要求。PFT通常採用2倍的過抽樣。
過抽樣的程度由新抽樣的數目M(每一次新變換的參數)決定。M的值越小，過抽樣因子越大。
瞬態分析
一般參數
儘管多相位、WOLA 或 PFT濾波器組在穩態條件(如穩定的信號條件和所有的濾波器抽頭充滿)給出了很好的相鄰信道抑制性能，瞬態響應卻是另外一種情況。在以下的討論中，使用的一般參數是：
?子帶的數目 = 1024
?輸入抽樣速率=102.4 MS/s(複數)
?輸出抽樣速率 = 204.8 MS/s (2倍過抽樣)
?多相位抽頭的數目=5(等同5120點窗口)
?濾波器阻帶抑制 = -85 dB
?濾波器通帶紋波 = 0.2 dB(峰—峰)
?濾波器交迭 = 75%
最後一個參數用來測量濾波器的截止率。濾波器被設計成子帶的邊緣內都是平坦的，然後進入阻帶，與相鄰子帶的寬度有75%的交迭。
瞬態的結果由一個正弦波輸入的階梯函數產生，頻率範圍從中心頻率到半個子帶的偏移。它給出了對於FFT的最差的頻譜洩漏。
下面將介紹歸一化的功率譜(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍過抽樣速率(在這種情況下速率是204.8MS/s)情況下的管道輸出。一個單獨的1024抽樣的幀包含了從蠪s/2 到 +Fs/2的交織頻率子帶，這裡Fs是輸入複數抽樣速率。
FFT瞬態響應
圖1給出了非加權FFT的瞬態響應。圖中沒有表示在第一次輸出前需要採集1024個抽樣和實際硬體處理帶來的任何其它延時的「廢棄」時間。因為它是2倍過抽樣，第一個1024點的幀還沒有達到穩定狀態。這可以由以下的事實說明：第一個輸出幀在5ms內產生(1024個點以204.8MS/s 的抽樣速率產生)，而輸入抽樣速率是102.4MS/s ，這意味著只有512個抽樣是有用的(剩餘的為0)。
多相位DFT瞬態響應
圖2給出了5抽頭多相位DFT的瞬態響應。很顯然，與FFT相比瞬態響應的時間要長，並且直到第10幀才完全達到穩定狀態。直到第5幀，有效的濾波器頻率響應還不如非加權的FFT好。這是因為濾波器的抽頭只是半充滿。達到全穩定狀態花費了10幀的時間(5抽頭乘以過抽樣因子)。
過抽樣的影響
有人可能認為通過在濾波器組的輸出端進行過抽樣能夠減少瞬態響應時間，這是不正確的。瞬態響應是濾波器衝激響應函數，過抽樣的影響只是使瞬態響應的細節更加清楚。這可以通過以下的例子說明：
?子帶的數目=1024
?輸入抽樣速率=6.4MS/s (複數)
?輸出抽樣速率 = 204.8MS/s (32倍過抽樣)
?多相位抽頭的數目=5(同上具有相同的有效濾波)
圖3給出了32倍過抽樣的瞬態響應。為了保持204.8MS/s的輸出抽樣速率(受限於設備最大輸出速率)，輸入速率必須減小到6.4MS/s。
32倍過抽樣情形下的第80和第160幀的瞬態響應恰好對應於2倍過抽樣情形的第5和第10幀。這清楚地說明過抽樣並沒有獲得時間上的好處。32倍過抽樣的第1幀甚至比2倍過抽樣的第1幀還要差，因為現在5120個抽樣中只有32個可用。通過將圖2和圖3進行比較，瞬態響應的細微差別就更加清楚了(注意，由於輸入抽樣速率從102.4MS/s到6.4 MS/s的改變，引起時間軸刻度不同)。
最小相位FIR濾波器的影響
在此方面，一個更準確的命名是「最小群時延濾波器」，因為對於IIR濾波器而言，通過非線性相位響應的代價，可以減少中心頻帶的群時延。典型的例子如圖4所示。
除了濾波器抽頭係數不同，其它參數和圖2一樣。可以看到，濾波器的幅度響應增長很快，但這並不意味著濾波器在相鄰信道抑制方面能夠更快的穩定下來。
在最小相位第5幀，儘管幅度已經達到了最大值，但頻譜響應還沒有達到第9或第10幀的穩定狀態條件。這方面的影響與標準多相位DFT的情況是類似的。
結語
結論很清楚。快速瞬態響應和陡峭頻譜濾波器不能同時獲得。最快速穩定時間可以從簡單的FFT(加權或非加權)得到，代價是相對差的頻譜濾波特性。從另一個方面看，Sinx/x FFT 濾波器的階梯響應很接近立即階梯響應。
提到「磚牆」濾波器，設計人員必須接受隨之引起的由於濾波器需要充滿帶來的瞬態響應延時。濾波器越陡峭，瞬態時間越長。如果優先考慮給定子帶的信號幅度，那麼「最小相位」濾波器會有所幫助，但這並不能改善(實際上可能會惡化)瞬態期間的相鄰信道抑制性能。這也會帶來每一個子帶的非線性相位響應。
過抽樣在瞬態期間展示更多細節方面有一定的作用，但它不會縮短瞬態響應時間。■ (永學編譯)