浮點數的概念
本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201611/319885.htm常用的科學計數法來表示一個十進位數如
l234.75=1.23475E3=1.23475×103
在數據很大或很小時，採用科學計數避免了在有效數字前加0來確定小數點的位置，突出了數據的有效數字的位數，簡化了數據的表示。可以認為，科學計數法就是十進位數的浮點數表示方法。
在二進位效中，也可以用類似的方法來表示一個數，如
1234.75=10011010010.11(二進位)=0.1001101001011×211
一般表達式為
N=S×2p
在這種表示方法中，數值由四個部分組成，即尾數S及符號，階碼P及符號。
在二進位中，通過定義相應字節或位來表示這四部分，就形成了二進位浮點數。二進位浮點數可以有多種不同的表示方法，下面是一種常見的三字節浮點數的格式：
其中尾數佔16位，階碼佔6位，階符佔1位，數符佔1位。階碼通常用補碼來表示。
在這種表示方法中，小數點的實際位置要由階碼來確定，而階碼又是可變的，因此稱為浮點數。
1234.75用這種格式的浮點數表示就是：
0000 1011 1001 1010 0101 1000
用十六進位表示為
1234.75=0B9A58H
-1234.75=4B9A58H
0.171875=043B00H
-0.171875=443B00H
三字節浮點數所能表示的最大值為
1×263=9.22×1018
能表示的最小數的絕對值為
0.5×2-63=5.42×10-20
其所表示的數的絕對值範圍=(5.42×10-20～9.22×1018)，由此可以看到，比三字節定點數表示的數的範圍大得多。
按同樣方法可以定義一個四字節的浮點數，以滿足更高精度的需要。
規格化浮點數
同一個數用浮點數表示可以是不同的，如
1234.75=0B9A58H=0C4D2CH=0D2696H
雖然這幾種表示其數值是相同的，但其尾數的有效數字的位數不同，分別為16位、15位和14位。在運算過程中，為了最大限度地保持運算精度，應儘量增加尾數的有效位數。這就需要對浮點數進行規格化處理。
在只考慮用二進位原碼表示尾數時，尾數的最高位為l，則該浮點數為規格化浮點數。在規格化浮點數中，用尾數為0和最小階碼表示0，三字節規格化浮點數的0表示為410000H。
浮點數在運算之前和運算之後都要進行規格化，規格化過程包括以下步驟：
(1)首先判斷尾是否為0，如果為0，規格化結果為410000H;
(2)如果尾數不為0，判斷層數的最高位是否為1，如果不為1，尾數左移，階碼減1;
(3)再判斷層數的最高位是否為1，如果不為1，繼續進行規格化操作，如果為1，則規格化結束。
浮點數運算
浮點數運算包括加、減、乘、除四則運算，比較運算，開方運算，多項式運算和函數運算。其它運算都可用這些基本運算的組合來完成。本節主要介紹浮點數四則運算及其子程序。
1.浮點數的加、減運算
浮點數的運算就是求結果的尾數、數符、階碼包括階符的過程。在加、減運算中，參加運算的浮點數的階碼可能是不同的，其尾數所代表的值也是不同的。在這種情況下，尾數不能直接相加或相減，必須首先使兩個數的階相同，這一過程稱為對階。一般是讓小階向大階對齊，尾數相應右移。對階相當於算術中的小數點對齊或代數中的通分。尾數相加或相減得到了結果的尾數。數符由尾數的運算結果的符號確定。階碼就是兩個數中較大的階碼。
例1 計算132.25+69.75
解: 132.25+69.75=088444H+078B80H=088444H+0845C0H=08CA00H=202
由於兩個浮點數的階碼分別為8和7，先將加數的階碼變為8，其尾數右移1位。兩個數的階碼相同後，尾數直接相加即為和的尾數，和的尾數的最高位為1，為規格化浮點數。
例2 計算12.39-93.1
解: 12.39-93.1=04C651H-07BA33H=87A169H=-80.71
本例中被減數小於減數，差為負數，結果的數符為1。差的階碼為兩個數中較大的階碼。
2.浮點數乘法運算
如果設參加運算的兩個操作數分別表示為
Na=(-1)SSa×Sa×2Pa
Nb=(-1)SSb ×Sb×2Pb
它們的積為
N=Na×Nb=(-1)SSa+SSb×(Sa×Sb)×2Pa+Pb
式中SSa和SSb為兩個數的數符。
乘法運算可總結為：
(1)積的數符為乘數的符號位和被乘數的符號位按模2求和，即異或;
(2)積的階為乘數和被乘數的階的和;
(3)積的尾數為被乘數和乘數的尾數的積。
參加運算的浮點數一般都是規格化的浮點數，尾數的積小於1，不需進行右規格化處理。但有可能小於0.5，所以需進行左規格化處理，使積為規格化浮點數。如果乘數或被乘數的尾為0、則積為410000H。由於在尾數相乘時，積的低16位不能反映在結果中，因此，積可能會產生一定的誤差。
例3 算22.4l×4.23。
解: 22.41×4.23=05B349H×03875EH=07BD9AH=94.8
積的階為乘數和被乘數的和，即8。尾數相乘時，積小於0.5，進行左規格化處理，階碼變為7。
例4 計算2586.5×(-6.91)。
解: 2586.5×(-6.91)=0CA1BOH×83DD13H=8F8BA0H=-17872
被乘數為正數，數符為0，乘數為負數，數符為1，積的數符為0⊕1=1，積為負數。
3.浮點數的除法運算
除法運算可以表示為
N=Na/Nb=[(-1)SSa×Sa×2Pa]/[(-1)SSb×Sb×2Pb ]
=(-1)SSa-SSb×(Sa/Sb) ×2Pa-Pb
浮點數的除法運算可以總結為：
(1) 商的數符為被除數與除數的符號位的差;
(2) 商的階碼為被除數和除數的階碼的差;
(3) 商的尾數為被除數和除數的尾數的商。
規格化的浮點數進行除法運算時，尾數相除，商不會小於0.5，不需進行左規格化處理。但有可能大於1，有時需進行右規格化處理。
例5 計算390.67÷14.3l。
解: 390.67÷14.31=09C357H÷04E511H=05DA4EH=27.3
商的階碼為被除數與除數的階碼的差。尾數相除時，結果的最高位為1，商為規格化浮點數。
例6 計算 -6.02÷16.157。
解: -6.02÷16.157=83C0AAH÷058143H=FFBEC8H= -0.373
異號相除時，商為負數。由於被除數的尾數大於除數的尾數，所以被除數先進行右規格化，階碼變為4，商的階碼為 -1，用補碼來表示。
浮點數運算子程序
通過前面的分析可以看到，浮點運算比較複雜，有其特有的方法和規律。這裡介紹幾種常用的三字節浮點數運算子程序，通過分析、設計這些程序，可以進一步了解浮點數的運算過程和特點，熟悉複雜程序的設計方法。
1.浮點數通用規格化子程序
在浮點數運算過程中，有時需要左規格化，有時需要右規格化。通過規格化子程序既可實現左規格化，又可實現右規格化，其具體功能如下：
當Cy=0時，進行右規格化：F0=0時.對R6(階)R2R3(尾數)右規格化1位;F0=1時，對R7(階)R4R5(尾數)右規格化1位。
當Cy=1時，對R6(階)R3R3(尾數)執行左規格化。
程序開始時，判斷是執行左規格化還是右規格化。如果是右規格化，還要判斷是對R6(階)R2R3(尾數)還是對R7(階)R4R5(尾數)進行規格化。如果是左規格化，直至把操作數變為規格化浮點數。其程序框圖如圖4-13所示。程序為：
FSDT: JC LNORMS
MOV C, 39H ;進行右規格化
JB F0, NR7
MOV A, R2 ;R2R3右移一位
RRC A ;(Cy)移入尾數最高位
MOV R2, A
MOV A, R3
RRC A
MOV R3, A
INC R6 ;階碼加1
RET
NR7: MOV A, R4
RRC A
MOV R4, A
MOV A, R5
RRC A
MOV R5, A
INC R7
RET
LNORMS: MOV A, R7
JNZ LSHIFT
CJNE R3, #00H, LSBIT8 ;尾數為0，階碼41H
MOV R6, #41H
LSEND : RET
LSHIFT: JB ACC.7, LSEND
LSBIT8: MOV C, F0
MOV A, R3
RLC A
MOV R3, A
MOV A, R2
RLC A
MOV R2, A
CLR F0
DEC R6
SJMP LNORMS
2.浮點數加減運算子程序
參加運算的浮點數可能是正數，也可能是負數。對於加法運算.當加數和被加數的數符相同時，尾數相加，不同時尾數相減;對於減法運算，當減數和被減數的數符相同時，尾數相減、不同時尾數相加。當兩個浮點數的階碼不同時，要進行對階，使小階與大階相等，因此，結果的階碼與其較大的階碼相同。
在執行加法運算時，尾數有可能大於1，因此要進行右規格化處理;執行減法運算時，尾數有可能小於0.5，因此，要進行左規格化處理。
下面是三字節浮點數加、減法處理於程序，具體功能為：
R6(階)R2R3(尾)±R7(階)R4R5(尾)→R4(階)R2R3(尾);
當位3AH=0時，執行加法;
當位3AH=1時，執行減法。
程序框圖如圖4—14所示。程序如下：
FABP： MOV A, R6
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C ;存被加數數符
XRL A, R7
JNB ACC.7, FAB1 ;數符相同則轉
CPL 3AH ;數符不等，求反運算標誌
圖4-14
FAB1: MOV A, R6
MOV C, ACC.6 ;擴展階碼符號位
MOV ACC.7, C
MOV R6, A
MOV A, R7
CLR C
MOV A, R6
SUBB A, R7
JZ FAB2 ;階碼相同則轉
CLR F0
JB ACC.7, FAB6
CJNE R4, #00H, FAB7
CJNE R5, #00H, FAB7
FAB2: JB 3AH, FAB9 ;轉向尾數減法
MOV A, R3 ;執行尾數加法
ADD A, R5
MOV R3, A
ADD A, R2
ADDC A, R4
MOV R2, A
JNC FAB4
SETB 39H
CLR C
FAB3: CLR F0
LCALL FSDT
FAB4: CJNE R2, #00H, FAB5
CJNE R3, #00H, FAB5
MOV R4, #41 ;結果為0，規格化
RET
FAB5: MOV A, R6
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C
XCH A, R4
MOV R6, A
RET
FAB6: CJNE R2, #00H, FAB8
CJNE R3, #00H, FAB8
MOV A, R7
MOV R6, A
SJMP FAB2
FAB7: CPL F0
FAB8: CLR C
LCALL FSDT
SJMP FAB1
FAB9: MOV A, R3 ;尾數相減
CLR C
SUBB A, R5
MOV R3, A
MOV A, R2
SUBB A, R4
MOV R2, A
JNC FAB10
CLR A
CLR C
SUBB A, R3
MOV R3, A
CLR A
SUBB A, R2
MOV R2, A
CPL 38H
FAB10: SETB C
SJMP FAB3
3. 浮點數乘法運算子程序
浮點數相乘時，階碼直接相加即獲得積的階碼，尾數相乘時，結果可能小於0.5，需進行左規格化處理。下面是三字節浮點數乘法運算子程序，具體功能為：
(Ro)指向的三字節浮點數×(R1)指向的三字節浮點數→R4(階)R2R3(尾數)。
圖4-15三字節浮點數乘法的程序框圖。程序為：
FMUL: LCALL FMLD ;傳送浮點數
MOV A, R6 ;求積的數符
XRL A, R7
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C
LCALL DMUL ;調用雙字節無符號數乘法子程序
MOV A, R7
MOV C, ACC.7
MOV F0, C
MOV A, @R0
ADD A, @R1
MOV R6, A
SETB C
LCALL FSDT ;進行規格化操作
圖4-15 三字節浮點數乘法子程序
MOV A, R6
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C ;置積的數符
MOV R4, A
RET
註：(1)FMLD為浮點數取數子程序，功能為：將(R0)指向的三字節浮點數送入R6(階)R2R3(尾數)中，將(R1)指向的三字節浮點數送入R7(階)R4R5(尾數)中。
(2)DMUL為雙字節無符號數乘法子程序。
4.浮點數除法運算子程序
在進行除法運算時，被除數的尾數可能比除數的尾數大很多，使結果大於1。為避免這種情況，如果被除數尾數大於除數的尾數，先將被除數的尾數右移，使其小於除數的尾數。階碼也相應增加，保持其數值不變。下面是三字節浮點數除法運算程序，其功能為：(R0)指向的三字節浮點數除以(R1)指向的三字節浮點數→R4(階)R2R3(尾數)中。
程序框圖如圖4-16所示。程序為：
FDIV: LCALL FMLD
MOV A, R6
XRL A, R7 ;求商的數符
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C
CLR A
MOV R6, A
MOV R7, A
CJNE R4, #00H, FDIV1
CJNE R5, #00H, FDIV1
SETB C
RET ;除數為0返回
FDIV1: MOV A, R3 ;比較被除數與
SUBB A, R5 ;除數的尾數
MOV A, R2
SUBB A, R4
JC FDIV2
CLR F0
CLR 39H
LCALL FDST
RRC A
MOV R7, A
CLR C
SJMP FDIV1
FDIV2: CLR A
XCH A, R6
PUSH ACC
LCALL DDIV ;調用雙字節除法程序
POP ACC
ADD A, @R0
CLR C
SUBB A, @R1
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C
MOV R4, A
CLR C
RET