三角函數的複數形式和本質原理

2020-12-11 電子通信和數學

我們結合歐拉公式，可以得到複數平面上的三角函數，x(t)的複數形式是Ae^j(Ωt+Φ)，它是有實部和虛部組成

如果將三角函數的實部和虛部所表示的圖形，與x(t)的複數形式一一對應，就得到如下樣式，非常直觀

為了更加形象的說明這一點：我們假設一個物體繞半徑為1的圓在複平面上勻速轉動，其中 t表示時間，該運動在水平（實）軸上 的投影為正弦波，在垂直（虛）軸上的投影為餘弦波

我們運用歐拉公式，再結合向量很容易得到三角函數複數形式下的公式。

我們用三維模型來演示上述的原理

我們把它畫成3D模型，其中x軸表示時間，y軸和z軸分別是複數信號的實部和虛部。在3D圖形中，這將是一個螺旋線

如果你繼續觀察就會發現：在時間軸和虛軸組成的平面上形成的投影是一個正弦波

如果將實軸和虛軸組成的平面繞時間軸旋轉90度，形成的投影就是餘弦波

另一方面，在實軸和虛軸上的投影是一個單位圓

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