數學幾何經典:用優美的幾何原理演示所有三角函數的導數原理

2020-12-09 電子通信和數學

書本有關三角函數求導的原理都是基於嚴格的純代數的推導，邏輯嚴謹，但缺乏直觀的理解，本篇就從直覺思維出發，用嚴謹的幾何原理演示所有三角函數的求導過程。希望對您有所幫助

第一：正弦函數sinX的導數：在X的基礎上增加微元x，容易得到sinX的導數是cosX

圖中的圓為四分之一的單位圓

第二：反正弦函數arcsinX的導數：經過如下作圖，很容易得到紅色三角形和藍色三角形相似，也就得到了arcsinX的導數

第三：正切函數tanX的導數：經過如下作圖，得到ABC面積的兩種等價形式，計算出y，這樣就求出了tanX的導數

第四：反正切函數arctanX的導數：我們同樣運用面積法，得到h的值，接著運用無窮小原理就求出了arctanX的導數

第五：正割函數secX的導數：運用的面積法，得到兩個相等的公式，這樣也就得到了y的值，結合無窮小原理，求出secX的導數

第六：反正割函數arcsecX的導數：它的幾何原理表述比較複雜，但同樣優美簡潔

根據面積法得到dy的值，有三角形相似原理得到h，帶入dθ/h，就得到了arcsecX的導數

上述求導的幾何演示，再一次顯示了數學的美。

剩餘的三角函數求導原理與上述方法一樣，有興趣的夥伴可以試一試。

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