數學漫步：探討正切函數tanx導數的代數與幾何原理

2020-08-22 電子通信和數學領域

最近我們展示了正弦，餘弦函數求導的幾何原理，形象直觀，更容易理解，今天我們就來講講正切函數求導的幾何原理，它在一定程度上比正弦，和餘弦函數要更為複雜一點。

第一：代數下的推導方式

進行幾何推導之前，我們先來欣賞一種優美的代數下的推導方法，這裡用到的是分部積分法

首先將tan=sinX/cosX，運用分部積分法，我們很容易得到如下結果

最後化簡，就得到tanX導數等於(1/cosX)^2

第二：幾何下的推導

我們先做一個單位圓，並旋轉X度時，我們可以得到用三角函數形式表示的線段，如下圖所示：cosX，sinX，tanX，secX，等等。

如果把角度增加微小的量ΔX時，就得到一個微元三角形ΔABC，該三角形的面積等於1/2*Δy*1。

但ΔABC面積又等於1/2* sec(X+ΔX)* secX* sinΔX,

所以我們就得到Δy= sec(X+ΔX)* secX* sinΔX,


最終我們就得到了tanX的導數，它等於(1/cosX)^2，或者可以寫成正割函數的平方secX^2。

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