科學網—大數學家是如何談論數學的

2020-12-27 科學網

 

數學的每一次進步，都和數學哲學、至少數學家的哲學思想密切相關。反過來，數學的每次進展又都向數學哲學提出自己的問題。

■胡作玄

《數學的意義》是十位大家談論數學哲學的文集。簡單說，數學哲學的首要問題是「數學是什麼？」但是這個問題就不像其他許多學科那樣有一個大多數專家公認的、比較明確的答案。例如化學，多數人同意它是「研究物質的組成、結構、性質和變化的學科」，而數學則不然。這使我們想起100多年前，大哲學家、數學家，也是數學哲學家的羅素說的一句俏皮話：「數學是這樣一門學科，關於它，我們不知道我們談論的是什麼，也不知談論的是否為真。」正因為如此，它帶來一系列的數學哲學問題。例如，數學是不是一門自然科學？它同物理學有什麼區別？數學研究是發現還是發明？數學對象是不是客觀存在？數學為什麼具有不可思議的有效性……這一系列哲學問題在本書中多少都有觸及，你對它們感興趣嗎？

理論上講，對數學哲學感興趣的人至少應該對數學本身有一個大致的、全局的了解。當然，這並不是一件容易的事。20世紀前半葉，龐加萊、希爾伯特、赫爾曼·外爾、馮·諾伊曼可能是全面理解數學的大數學家。到20世紀後半葉，也許只有布爾巴基集體才能做到這點。到了21世紀，專業化浪潮已經席捲整個數學，很少人能與時俱進地、哪怕是膚淺地了解整個數學，而這恰恰是研究數學哲學的必要條件。這裡，我們只能粗略地把整個數學分成相互關聯的三大塊：初等數學、應用數學、純粹數學。每位受過基礎教育的人，都覺得自己懂點數學，他們所懂的數學，誠然天天都在用，卻並非現代數學哲學的合適基礎。數學不可思議的有效性首先表現在微積分和數學物理方程方面，沒有它們，現代物理學可以說寸步難行。在牛頓與萊布尼茨創立了微積分之後，他們都受到許多哲學家的非難，其中最著名的是英國哲學家巴克萊。為微積分（數學分析）奠定嚴格基礎花了數學家兩個世紀（18、19世紀）。

而緊接著數學分析基礎的建立，立即促成集合論的誕生。康託爾的無窮集合論帶來數學家之間的大辯論，從而導致帶來哲學性質的數學基礎危機，過去簡稱為第三次數學危機。集合論帶來的大麻煩實際上來源於對我們的常識或直觀論斷「整體大於部分」的哲學態度。擁護它的保守派只能在有限的範圍內討論問題，而打破這個禁忌則促使全新的純粹數學的產生，我們不妨稱之為結構數學，例如抽象代數學和一般拓撲學。這些新的抽象數學原來似乎只是數學家的頭腦遊戲，後來卻證明它們在各個領域有著各種奇妙的應用。這使諾貝爾物理學獎獲得者威格納驚呼「數學不可思議的有效性」。這也推翻了英國大數學家哈代（他可以算華羅庚的老師）的兩個教條：一是他所做的數學（主要是數論）是沒用的，既對人類無益也不對世界有害；二是談論數學本身不是數學家應該幹的事。這也可以說是哲學家幹的事，而哲學對於數學也沒啥用處。

近百年來，純粹數學抽象數學大有用武之地早已是不爭的事實，就連哈代標榜的數論在物理領域也很有用，這可從最近名為《數論與物理通訊》的期刊問世即可明白。雖說數學無用論現在不太有人講，但第二個教條，哲學無用論的確大有市場。正如筆者在《數學是什麼》一書中談到的，哲學和數學都是「萬學之學」，因為它們都幾乎涉及所有學科。但它們至少有兩點不同。首先，哲學可以分為兩大塊：學院哲學（主要是形上學、認識論、價值論、形式邏輯）和實用哲學（教育哲學、法律哲學、政治哲學、科學哲學等），沒有對應於初等數學的初等哲學。其次，任何數學問題大都有標準答案，一般來講非對即錯，而哲學則沒有，這也反映在《數學的意義》一書中，每位專家的論文後面，都有另一位專家的批評文章，有些甚至是針鋒相對的，這種事在數學論文中是很難想像的。

這樣本書對於習慣定式思維的中國讀者無疑是很好的思維訓練。可以看看大專家是如何思考、如何談論數學的。不管怎麼說，聽聽大數學家對數學的看法，對於普通讀者理解數學還是很有好處的。本書十位專家中，有三位是數學家，高爾斯是菲爾茨獎得主，最近出版的《普林斯頓數學伴讀》主編。彭羅斯是與霍金同等級別的大科學家，從宇宙論到人工智慧都有獨到的見解。他的文章讓人想到波普爾的科學哲學，特別是三個世界理論，從中可以看出，哲學對前沿數學家是多麼重要。除了前面所說龐加萊等四位大數學家之外，還有亞里斯多德以後最偉大的邏輯學家哥德爾，他們都十分清楚自己的數學哲學見解，有這方面的論文乃至專著問世。而哥德爾更是公開宣稱自己的思想來源是康德哲學。這多多少少有點像推動20世紀物理學革命諸大家：普朗克、愛因斯坦、玻爾、波恩、海森伯、薛丁格等人，對於他們，哲學是思想的推動者。

總之，數學的每一次進步，都和數學哲學、至少數學家的哲學思想密切相關。反過來，數學的每次進展又都向數學哲學提出自己的問題。數學變得如此博大精深，哲學不可能不在場，不過由於數學的難度，數學哲學仍處在其初級階段。

如果要進一步研討數學哲學，書末的文獻是一個極好的選擇。閱讀本書，肯定會對數學、哲學、數學哲學有新的認識，只是多少得有點基礎。

《數學的意義》，[英] 約翰·查爾頓·珀金霍恩主編，向真譯，湖南科學技術出版社2014年1月出版

《中國科學報》 (2014-05-30 第19版 書評)

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