歐拉公式——上帝創造的數學公式

大家好！這裡是微信公眾號《職業數學家在民間》的專欄《高等數學》第四期，這一期我們將介紹著名的歐拉公式。傳播數學是我們的神聖使命，敬請掃描👇關注我們！

第一期：行列式的幾何意義

第二期：為什麼0.9999會等於1

第三期：世界著名數學難題——圓內格點問題

1743年，著名的數學家歐拉在一篇正式發表的論文中首次得到了如下這個結果

 

其中e是自然常數，其值約為2.718；cos 和 sin 分別是餘弦和正弦函數；i是虛數，滿足 i²=-1。當t=π時 cos π＝-1，sin π＝0，於是上面公式變成

 

第二個公式更廣為流傳，短短的公式中聚集了五個最著名的數學常數：

0，1，i(虛數)，π(圓周率)，e(自然對數)

因此，第二個公式也被數學家們稱為「上帝創造的數學公式」

我們來看歐拉公式中的五個常識

0，1，i，π，e

和三個函數

ex ，cos t，sin t

其中0和1無需多言，i在我們此前的文章《複數——幾何直觀和代數運算的交響樂》中也徹底講明白了。圓周率π就是單位圓(半徑為1的圓)周長的一半。還有函數 cos t，sin t ，它們分別表示(以原點為圓心的)單位圓周上，逆時針偏離(1,0)點弧長距離為t的點的橫坐標和縱坐標，

到了自然函數e和指數函數ex問題就來了，

自然常數e為什麼會稱為自然？

指數函數ex當x為有理數時，可以用乘方和開根號來定義，

對於一般實數是不是要用極限定義？

歐拉公式中指數函數ex甚至取x值為虛數，那又該如何定義？

這些問題正是歐拉公式給許多人留下神秘印象的原因。要解釋清楚歐拉公式和這麼多問題，我們該選擇從哪裡入手作為起點呢？

我們選擇的起點就是用冪級數定義的函數E(x)

很多人在這裡可能要問：

為什麼選擇這個冪級數作為起點？

因為唯有如此，才能最便捷最有效地理解歐拉公式，請拭目以待！

注意這個函數E(x)對於所有的複數x都是可以定義的，這一點非常重要。

好了，接下來，我們將從這個起點出發，推導出兩個方程(微分方程，函數方程)和一個共軛等式，這三者對我們理解歐拉公式都是至關重要的！

 

我們直接推導這個函數方程：

大家注意推導中最後一步使用了二項式定理，實際上函數方程是二項式定理的生成函數表達式，換句話說

 (除了二項式定理外，還有很多組合恆等式可以寫成生成函數的形式，有興趣的朋友可以自主探索一下。)

好了言歸正傳，如果我們令

那麼根據函數方程，

E(2)=E(1)E(1)=e2

E(3)=E(2)E(1)=e3

...

所以E(x)=ex 對所有整數x都是成立的。再根據函數方程

E(1/3)E(1/3)E(1/3)=E(1/2)E(1/2)=E(1)=e

又因為E(1/2)，E(1/3)都是正數，所以

E(1/2)=e1/2

E(1/3)=e1/3

進一步可以推導出E(x)=ex 對所有有理數，對所有實數(取極限)都是成立的。所以E(x)是指數函數ex 的推廣。對於複數x，我們也把E(x)寫成ex。比如eit就是：

 

逐項求微分就可以得到這個微分方程：

相信不少人都知道e可以用複利的方式來理解：

假如有人借給你1萬元高利貸，年化利息是100%，那麼一年後結算，你要還他2萬元。但是如果他半年後結算，就是(1+1/2)萬，然後再借給你，半年後再結算，那就是(1+1/2)2 萬=2.25萬。如果每四個月結算一次，那一年後就是(1+1/3)3 萬≈2.37萬。如果把一年分成許多個，甚至無數多個時間段，不停地，連續地複利結算，那最後的結果就是極限

這個極限也是約等於2.718。也就是說最先的1萬元，在一年的時間內連續複利，最後變成約等於2.718萬元

另一方面，當x從0連續變到1的時候，函數ex的值是從1增長到e，而且ex的微分方程表明，這種增長方式也是每個時刻都以自身的值作為增長率，這和上述的複利模式是相同的。所以我們很直觀地從ex的微分方程看出

e表示單位量在單位時間內"自然增長"得到的數量，所以稱為自然常數。這種自然增長的模式在自然界中經常碰到，比如細菌和其他微生物的繁殖等

 

在講函數ex的共軛等式之前，我們先複習一下共軛複數的概念：

複數z=x+yi的共軛複數是定義為z=x-yi，對應到平面上就是兩個關於x軸對稱的點。

很容易驗證，共軛和加法，乘方運算是交換的：

兩個互為共軛複數的乘積剛好等於模的平方：

zz=|z|2

(共軛等式)

 

這個等式的推導也很簡單：

共軛等式告訴我們，函數ex在一對共軛複數處取的值也是互為共軛的。

我們現在重新來審視歐拉公式

 

這個公式的左邊是一個定義在整個實數軸上的復值函數，也就是說，對於每個實數t，都對應著唯一的複數eit。我們在文章《複數——幾何直觀和代數運算的交響樂》中講過，複數和平面上的點一一對應。所以如果我們把數軸看成時間直線的話，

eit就可以看作是一個質點在平面上的運動，在t 這個時刻，質點的位置是eit。

但是這個公式的右邊也是一個定義在整個實數軸上的復值函數，也可以看作是一個質點在平面上的運動。我們在第一節中說過，函數 cos t，sin t 分別表示(以原點為圓心的)單位圓周上，逆時針偏離(1,0)點弧長距離為t的點的橫坐標和縱坐標，

也就是說，在時刻t，質點在單位圓周上走過長度為t的路程。換句話說，歐拉公式的右邊代表質點繞單位圓做逆時針勻速圓周運動，速度為1。

所以，我們要說明歐拉公式的左邊eit也代表質點繞單位圓做逆時針勻速圓周運動。我們先來說明為什麼函數eit的值總是落在單位圓周上。根據ex的共軛等式

而根據ex的函數方程

所以eit也確實代表質點在單位圓上的運動。如何說明這種運動是逆時針勻速呢？我們可以看它的速度向量，也就是eit的導函數。根據ex的微分方程，我們有

所以，每個時刻的速度向量都是位置向量順時針旋轉90度，

因此eit確實也代表質點繞單位圓做逆時針勻速圓周運動，速度也為1。

所以，既然左右兩邊的函數代表的是同一個運動，歐拉公式自然就成立了。另外，在時間 t=π時，質點剛好走過半圓周，達到點(-1,0)。這時歐拉公式就變成

根據ex的函數方程，

利用歐拉公式，這個等式可以寫成

大家能不能看出來這實質上就是三角函數的和差化積公式。實際上，在以歐拉公式為背景之下

上一節講過，歐拉公式可以看作單位圓上的勻速圓周運動。現在我們把歐拉公式和函數eit看成是實數軸到單位圓的函數或映射。

直觀上看，這種映射可以看作線環繞圓周

 

其實，實數軸和單位圓都是最特殊的李群。我們簡單說明一下，首先實數有加法運算，有單位元0，還有加法運算的逆運算減法，而且這些運算都可以看成是二元光滑(無限可微)函數，這些性質大體上構成了李群的定義。類似地，所有模為1的複數(對應單位圓上的點)上有乘法運算，也是可逆的，也有單位元1，也滿足光滑條件，所以也是一個李群。

根據ex的函數方程，

所以函數eit把實數的加法轉化成單位圓上的乘法，因此歐拉公式可以理解為兩個李群之間的同態，這是李群同態最簡單的例子。(所謂的同態就是一個李群到另一個李群的光滑映射，把單位元映射成單位元，且把一個李群的運算轉化成另一個李群的運算)

從拓撲的角度來看，歐拉公式所表示的實數軸到單位圓的映射其實是單位圓的萬有復疊映射。這個萬有復疊映射表明單位圓的基本群(一個拓撲不變量)是非平凡的，而這個事實是代數學基本定理的拓撲證明的基石。

實數軸到單位圓的這個映射還可以從李代數的角度來理解，這時，實數軸代表單位圓在單位元處的切空間。

這種映射可以推廣到任意李群和李代數，不過我們只提一個簡單的推廣：行列式非零的n階方陣群(運算是矩陣乘法)，和n階方陣李代數。(注意單位圓上的複數可以看成是1階方陣)

這個時候的映射是定義為：

n階方陣→ 行列式非零的n階方陣

大家注意這是指數函數ex的冪級數展開的直接推廣，這也是我們選擇ex的冪級數作為起點的另一個原因！