歐拉公式怎麼寫_歐拉公式的意義

2020-12-12 電子發燒友

歐拉公式怎麼寫_歐拉公式的意義

發表於 2017-11-28 19:40:32

　　歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域，建立和三角函數和指數函數的關係，被譽為「數學中的天橋」形式簡單，結果驚人，歐拉本人都把這個公式刻在皇家科學院的大門上，看來必須好好推敲一番。

　　歐拉公式怎麼寫

　　歐拉公式有4條，我們一一的來了解一下：

　　（1）分式：

　　a＾r/（a-b）（a-c）+b＾r/（b-c）（b-a）+c＾r/（c-a）（c-b）

　　當r=0，1時式子的值為0

　　當r=2時值為1

　　當r=3時值為a+b+c

　　（2）複數

　　由e＾iθ=cosθ+isinθ，得到：

　　sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

　　cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

　　此函數將兩種截然不同的函數---指數函數與三角函數聯繫起來，被譽為數學中的「天橋」。

　　當θ=π時，成為e＾iπ+1=0 它把數學中最重要的e、i、π、1、0聯繫起來了。

　　（3）三角形

　　設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：

　　d＾2=R＾2-2Rr

　　（4）多面體

　　設v為頂點數，e為稜數，f是面數，則

　　v-e+f=2-2p

　　p為虧格，2-2p為歐拉示性數，例如

　　p=0 的多面體叫第零類多面體

　　p=1 的多面體叫第一類多面體

　　歐拉公式的意義

　　工程師一觀點：

　　歐拉公式並沒有把實數信號變為複數。首先想想歐拉公式是怎麼推導出來的。歐拉發現的冪級數展開剛好是cos（x）和isin（x）的和，所以就有了

　　

　　接著來看傅立葉級數。傅立葉級數是把滿足狄利克雷條件的周期函數表示為一系列具有不同頻率的正弦與餘弦函數的和。這些頻率不同的三角函數是正交的，所以傅立葉級數就如同歐幾裡德空間裡對向量進行正交分解一樣，把空間裡的平方可積函數分解到一組正交基上。

　　傅立葉級數可以表示成三角函數的和，也能表示成復指數函數的和，原因就是有歐拉公式在二者之間作為橋梁。兩種表示方法都是可行的，只是人們發現復指數函數的表達方式在計算上更為便捷。

　　實信號的傅立葉係數，在下標互為相反數的係數是共軛複數，所以它們的和依然是實數。也就是說，實信號變換以後仍然是實數。

　　至於你最想知道的，這麼做的意義是什麼，在剛開始學信號與系統的時候，是很難理解的。我當時也一直想知道，各種變換的意義是什麼。比如我思考了很久卷積的意義是什麼，後來才發現，卷積這種運算沒有比較明顯的直觀含義。後來用多了用熟練了就明白它的作用了。信號學到後面，再學實變函數和泛函分析之類的，就不能去多想意義是什麼，那些抽象的東西，真的沒有什麼直觀的意義。

　　工程師二觀點：

　　信號變換的核心是傅立葉級數，用一組正交基sin/cos函數（信號）合成表示原信號。分解得到的一系列sin/cos函數（信號）經過歐拉公式變換為複數形式，一個複數就能同時表示分解的信號的分量的相位和幅度，其中相位表示cos/sin起振的角度，幅度是信號強度。

　　簡而言之，就是傅氏級數就是信號分解，將複雜信號分解簡單的正交餘弦信號，傅立葉變換得到各個信號分量的幅度與起振角度，引入歐拉公式變成複數是為了表示方便，後面對信號做運算也簡單了很多，比如時域卷積經過傅立葉變換到頻域就是相乘（逆變換回去也就是卷積的結果）（為何可以這樣？參考傅立葉分析教材的嚴格證明），具體操作時候還要考慮一些細節比如周期信號、非周期信號、收斂不收斂，時間頻率是否有限長等等。

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