歐拉公式，被譽為上帝公式， e、 i 、 pi 、乘法單位元1、加法單位元0，這五個重要的數學元素全部被包含在內，在數學愛好者眼裡，仿佛一行詩道盡了數學的美好。
歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域，建立和三角函數和指數函數的關係，被譽為「數學中的天橋」。形式簡單，結果驚人，歐拉本人都把這個公式刻在皇家科學院的大門上，看來必須好好推敲一番。
在進入歐拉公式之前，我們先看一些重要的複數概念。
1.1 i的由來
，這個就是i的定義。虛數的出現，把實數數系進一步擴張，擴張到了複平面。實數軸已經被自然數、整數、有理數、無理數塞滿了，虛數隻好向二維要空間了。
可是，這是最不能讓人接受的一次數系擴張，聽它的名字就感覺它是「虛」的：
從自然數擴張到整數：增加的負數可以對應「欠債、減少」
從整數擴張到有理數：增加的分數可以對應「分割、部分」
從有理數擴張到實數：增加的無理數可以對應「單位正方形的對角線的長度
從實數擴張到複數：增加的虛數對應什麼？
虛數似乎只是讓開方運算在整個複數域封閉了（即複數開方運算之後得到的仍然是複數）。
看起來我們沒有必要去理會到底等於多少，我們規定沒有意義就可以了嘛，就好像1/0一樣。
我們來看一下，一元二次方程的萬能公式：其根可以表示為：其判別式
我們再看一下，一元三次方程
，一元三次方程的解太複雜了，這裡寫不下，大家可以參考 維基百科 ，但願大家能夠打開。
我們討論一下，此時，一元三次方程可以化為，其根可以表示為：
其中：
判別式為，注意觀察解的形式，是被包含在根式裡面的。
要想求解三次方程的根，就繞不開複數了嗎？後來雖然發現可以在判別式為負的時候通過三角函數計算得到實根，但是在當時並不知道，所以開始思考複數到底是什麼？
我們認為虛數可有可無，虛數卻實力刷了存在感。虛數確實沒有現實的對應物，只在形式上被定義，但又必不可少。數學界慢慢接受了複數的存在，並且成為重要的分支。
1.2 複平面上的單位圓
在複平面上畫一個單位圓，單位圓上的點可以用三角函數來表示：
我們來看單位圓：
1.3 複平面上乘法的幾何意義
同樣來感受一下
在進入歐拉公式之前，
對於，有
----維基百科
歐拉公式在形式上很簡單，是怎麼發現的呢？
2.1 歐拉公式與泰勒公式
關於泰勒公式可以參看這篇詳盡的科普文章：
如何通俗地解釋泰勒公式？ 。
歐拉最早是通過泰勒公式觀察出歐拉公式的：
將代入e可得
那歐拉公式怎麼可以有一個直觀的理解呢？
2.2 對同一個點不同的描述方式
我們可以把看作通過單位圓的圓周運動來描述單位圓上的點，通過複平面的坐標來描述單位圓上的點，是同一個點不同的描述方式，所以有
2.3 為什麼是圓周運動？
定義e為
這是實數域上的定義，可以推廣到複數域。根據之前對複數乘法的描述，乘上是進行伸縮和旋轉運動，n取值不同，伸縮和旋轉的幅度不同。
我們來看看如何在圓周上完成1弧度的圓周運動的：
從圖上可以推出時，在單位圓上轉動了1弧度。
再來看看，這個應該是在單位圓上轉動弧度：
看來確實是單位圓周上的圓周運動。
來看看是如何運動的吧：
2.4 2^i的幾何含義是什麼？
看不出來有什麼幾何含義，不過我們稍微做個變換，幾何含義還是挺明顯的，沿圓周運動弧度。
2.5 歐拉公式與三角函數
根據歐拉公式，可以輕易推出：
和
。三角函數定義域被擴大到了複數域。
我們把複數當作向量來看待，複數的實部是x方向，虛部是y方向，很容易觀察出其幾何意義。
2.6 歐拉恆等式
當的時候，代入歐拉公式：
就是歐拉恆等式，被譽為上帝公式，乘法單位元1、加法單位元0，這五個重要的數學元素全部被包含在內，在數學愛好者眼裡，仿佛一行詩道盡了數學的美好。