算法之_歐拉公式

2021-03-01 MAIHM

轉：作者：xieyan0811

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１.  引子看傅立葉變換的時候，一直奇怪，冪指數是怎麼映射成三角函數的？學習了一下歐拉公式，果然很神奇，用到了自然常數e，圓周率π，虛數i，三角函數sin/cos，指數，還有泰勒展開．倒不是算法有多難，只是涉及基礎太多，經常被卡住，總結如下．

２.  泰勒展開泰勒展開是用多項式逼近原函數，這麼做是因為像sin(x)這樣的函數，如果代入x=4很難算出結果，但是將x的值代入形如f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3…的多項式就很容易計算。具體是用原函數的導數實現的，把函數展開成多項式，公式如下：

其中Rn(x)是餘項

３.  自然常數ee是自然常數(歐拉數)，它是一個約等於2.718的無理數，定義是

它的含義可以通過複利來理解，假設你有1塊錢，年利息是1塊錢（100%），一年後可拿到兩塊錢(1+1/1)^1=2；按利滾利計算，如果半年付一次利息(1+1/2)^2=2.25；一個月付一次息，(1+1/12)^12=2.61；每天付一次息，(1+1/365)^365=2.715，當x驅於無窮時e約為2.718．

４.  自然指數e^x的泰勒級數展開把e^x在x=0處展開，由於e^0=1且e^x的導數還是e^x，展開後得到

上圖是e^x，以及展開式前5項和前10項擬合的圖像

５.  複數複數是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，i^2=-1.（對應直角坐標系）

在複變函數(複數作為自變量和因變量的函數)中，變量z可以寫成z=r (cosθ+ isinθ) ．r是z的模，即r = |z|; θ是z的輻角，複數記作點Z(a,b)或向量OZ（對應極坐標系）

把乘一次i看成相對0點逆時針轉90度，乘兩次，轉180度，轉成實軸的-1，轉三次是-i，轉四次又回到單位1。因此可以把其虛部看成定義如何旋轉。

６.  把虛數i代入e^x的展開式虛數i是-1開方，因此有i^1=i, i^2=-1，i^3=-i，i^4=1

此時可以看到其結果分為實部和虛部兩部分

７.  把sin(x)做泰勒級數展開在x=0處展開，由於sin(0)=0，cos(0)=1，sin』(x)=cos(x)，cos』(x)=-sin(x)

８.  把cos(x)做泰勒級數展開在x=0處展開

９.  歐拉公式由以上幾步，可以看到e^ix的實部和虛部正好對應sin(x)和cos(x)的展開，據此，得到歐拉公式：

歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域，建立了三角函數和指數函數的關係，被譽為「數學中的天橋」。

下圖中，將上式右側表示為二維坐標中的點，xy軸分別表示其實部虛部，θ為轉角(即上式中的x)，轉動半徑為單位1（模不變）．它的幾何意義就是隨著虛部x的增加不斷轉圈．

可以把 e^(i*x) 看作通過單位圓的圓周運動來描述單位圓上的點，e^(i*x)表示在單位圓上轉動了x弧度(即某個角度時)得到的向量，以此類推，e^(πi)在單位圓上轉了半圈。顯然得到的是實軸上的-1，然後與1合併可抵消得到0 ，由此得到 ：

e^(πi)+1=0

１０.           擴展成時間的函數

上圖中又加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時間，w是係數。

把平面上的轉圈擴展成了空間中的轉圈，縱軸表示時間t，兩個橫軸分別為實部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍線經過的點是e^ix，即，把時域上的e^ix分別投射到了實軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時間t的函數．圖中可看到正餘和餘弦的投射（紅／綠），如果用python做3D圖，拖動旋轉角度效果更直觀．這就傅立葉變換原理：將時域值拆分映射到頻域，通過三角函數的疊加表示

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