二次函數袖手旁觀的壓軸題,老教師:別偷樂,做過方知它更不好惹

2020-12-15 憤怒的粉筆

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作為中考壓軸題，一般都是二次函數挑大梁，再和三角形，四邊形，或一次函數，反比例函數等相結合，衍生出多種組合。涉及知識點廣泛，繁多，同時也容易設置難度係數不同的小題，從而在考場上起到檢驗學生學習水平的效果，根據成績對學生進行分層。

「歷來中考看壓軸，壓軸還需抓函數」，壓軸題做得好的學生，數學成績肯定出色，反之壓軸題總是做得不理想的同學，數學成績很難得高分。所以，得壓軸題得數學，這句話還是很有市場的。

那麼，練習專項壓軸題，提高數學成績，在中考時佔據優勢，成了很多同學的不二選擇。經過題海戰術訓練後，同學們發現：傳統的二次函數壓軸題反反覆覆，套路就是司空見慣的那麼幾種，除了開始猝不及防之下感覺吃力，熟悉之後反而感到得心應手，不亞於解答一般題的勢如破竹，只不過計算量大一些，花費的時間多一些罷了。

當老師又拿出中考壓軸題，卻不是大家熟識的二次函數題型，而是四邊形三角形的綜合題型，多數同學是頗感新鮮和不以為然的，這不就是中考試卷上壓軸題前面的解答題嗎？換了個馬甲就升級成壓軸題了？莫非老師手裡沒題了，用這幾道普通題來濫竽充數？

不愧是老教師，看出了同學們擺在臉上的滿不在乎，便好心提醒：別看沒有二次函數湊熱鬧，誰要以為這幾道題是軟柿子，偷著樂，你可要吃苦頭嘍。

濟寧2019數學中考壓軸題。

聽了老師的話，部分同學收起了輕視之心，認真面對這幾道另類的壓軸題。結果卻讓同學們汗顏，只是第一道題，濟寧市2019年數學壓軸原題，便如一隻攔路猛虎，除了幾個數學學霸成功解決，多數同學敗下陣來。僅僅解答了第一小題，至於第二小題，則找不到一點眉目，只能在答題卷上不甘心地留下空白。

咱們一起來分析分析上圖這道不好惹的壓軸題。通過審題，可以確定該題考查矩形的性質、勾股定理、二次函數的性質、等腰三角形的性質，都是老熟人，但組合在一起，就顯得陌生和有難度了。

解析：(1)根據矩形性質和摺疊性質，可求出CF =4，然後在Rt △CEF 中，EF =8—CE ，由勾股定理，得EF ^2=CF ^2+CE ^2，代入數值，解得CE =3.

(2)①根據已知線段長，藉助△ADE ∽△GCE ，得CG =6，進而得出BG =16，再根據勾股定理得AG =8√5，DG =10。AD =DG =10，∠DAM =∠DGM 。

根據外角性質∠DMG =∠DMN +∠NMG =∠DAM +∠ADM ，因∠DMN =∠DAM ，所以∠ADM =∠NMG 。

易得△ADM ∽△GMN ，

AM /GN =AD /GM ，即x /10—y =10/8√5—x ，整理，得y =1/10(x —4√5)^2+2，故y 的最小值為2.

這個小題主要考查三角形相似和二次函數性質，難點在於證明三角形相似的推導過程，可根據分別表示x 、y 的兩條線段所在的三角形入手，依次求出所需條件來解決。另外，二次函數解析式的整理，對於計算能力不強的同學也是不小的考驗。

②存在，並且根據等腰三角形兩腰相等分情況討論。

上圖，當MD =MN 時，易證△MDN ∽△GDM ，MD /DG =MN /GM ，得MG =DG =10，x =AM =AG —GM =8√5—10。

下圖，當MN =DN 時，過點M 作MH ⊥DG 於點H ，∠MDN =∠DMN ，又∠DMN =∠DGM ，故∠MDN =∠DGM ，△MDG 是等腰三角形，MH ⊥DG ，所以GH =1/2DG =5。

易證△GMH ∽△GAB ，GH /GB =GM /GA ，解得GM =5√5/2，

故x =AM =AG —GM =8√5—5√5/2=11√5/2.

綜上所述，滿足條件的x 的值為8√5—10或11√5/2.

本小題難點在於藉助等腰三角形性質，來輔助推導三角形相似，尤其是第二種情況，還需藉助輔助線和等腰三角形三線合一的性質。

通過這一道壓軸題的解析，很多同學如夢方醒，誰要以為刷了大量專項數學壓軸題就以為實力強橫，面對所有壓軸題可以手到擒來，那就是夜郎自大了。不管是不是壓軸題，在沒有具備活躍的數學思維，靈活多變的解題思路前，革命尚未成功，同學仍需努力。

俗話說得好，打鐵要趁熱。下圖題依然還是沒有二次函數參與的中考壓軸題，依然有著壓軸題特有的不好惹屬性，只不過熱身後的你，全力以赴下，是否一展身手，攻克難關？來證明自己吧！答案在圖下方。

泰安2019數學中考壓軸題。

答案：⑴AG =FG 。

提示：在BC 邊上取BM =BE ，連接EM ，AF 。證△AEF ∽△MCE ，∠EAF =∠EMC =135°，易證∠DAF =45°，Rt △AGF 為等腰三角形，AG =FG 。

⑵DH ⊥GH 。

提示：延長GH 交CD 於點Q 。證△FGH ≌△CQH ，得HG =HQ ，CQ =FG =AG ，則DG =DQ ，△DGQ 是等腰三角形，故DH ⊥GH 。

怎麼樣？找到解題思路，做對了嗎？

數學中考壓軸題，本就是難度係數最大的存在，不管二次函數有沒有參與其中，都需要同學們有紮實的數學基礎，多經多緯的數學思維，還要見多識廣地刷不同類型的題，才能在三個月後的數學中考脫穎而出，考取理想的成績。

你認為呢？

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