1. 什麼是「域」
伽羅瓦提出一種名為「有限域」（finite field，日語將其稱為「有限體」）的理論。在為大家做具體介紹之前，我先來講講什麼是域。我們從上小學開始就不斷學習與數有關的知識，想必大家一定已經發現了，學習中接觸到的數的種類在逐漸增加。我們最先接觸自然數 1, 2, 3, ……，然後是 2/3、3/4 等分數和 1.5、0.04 等小數，再後來又學習了 2、-5 等負數。
接下來會接觸到諸如正方形對角線的長度等，像 √2 這樣的無理數。無理數無法用分數表示。
數自身不斷進化，其種類也不斷增加。這究竟是為什麼呢？當然是為了方便計算。
當大家只了解自然數 1, 2, 3,…… 的時候，雖然可以自由地進行加法運算，但卻無法隨意地進行減法運算，因為較小的數不能減較大的數。想讓小數減大數就要創造出新的負數。也就是說，只要將數的範圍擴展至負數
…… , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ……
就能自由地進行減法運算了。
但是，負數的出現並不能保證除法運算的自由進行，例如，我們還是無法得出 2 ÷ 3 的結果。為此必須引入 2/3 這種新的數，也就是說，分數是必需的。
包括所有正負整數和正負分數在內的數的集合叫作有理數，數的範圍擴展至此，在這一範圍內可以自由地進行加、減、乘、除的運算（不過，0 不能作除數）。
這種可以自由進行加減乘除運算的數的集合就叫作「域」。因此， 可以說全體有理數構成了域，即下列各等式是成立的。
不過，「域」這個字在這裡沒有什麼特殊的含意。無論大家怎麼查詢都不會找到「域」在數學中的含意。
雖然全體有理數構成了域，但域並非僅指有理數。除有理數之外，還存在無理數。有理數和無理數共同構成了實數，所有實數也構成了域，即下列各等式也都成立。
所有實數都可以自由進行加減乘除運算，因此實數也構成了域。除此之外還有很多個域。
例如，所有具有以下這種形式的數也能構成域。
任意選取兩個這樣的數進行加減乘除運算，其結果也永遠是上面這種形式的數。由此可知，所有具有這種形式的數構成了域。
2. 最小的有限域
以上舉出的域只不過是無數個域中的兩三個實例，這些域中都包含著無窮多個數。不過，並不是所有域中都一定包含無窮多個數，也存在一些由有限多個數構成的域。
由有限多個數構成的域叫作「有限域」。由於最初研究有限域的數學家為伽羅瓦，所以我們也將有限域稱為「伽羅瓦域」。
在有限域中，數的個數最少為 2。
這個域就是用 (mod 2) 對整數進行分類時的剩餘類。
用 (mod 2) 進行分類後，整數將被分為兩類，一是包含 0 的類，即偶數；二是包含 1 的類，即奇數。我們在此假設，所有偶數用 0 表示，所有奇數用 1 表示。
大家可能覺得 1 + 1 = 0 有些奇怪，但只要把它看作是奇 + 奇 = 偶的意思就很好理解了，或者也可以認為它的意思等同於 1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。
乘法運算的情況如下。
具有上述 + 和 × 的計算規則的 0 和 1 的集合就構成了域。
根據"同餘式與等式"一節介紹可知，利用 (mod n) 對整數分類後，- 和 × 等各種運算規則仍然成立。
當然，對於 (mod 2) 應該也成立。
另外，對於非 0 的「數」，也就是 1 而言，其逆元*為 1 本身，所以 ÷1 和 ×1 的結果相同。
* 通常在數學領域它與「倒數」的意思相同，指該「數」乘以「某數」等於 1 時的「某數」。
也就是說，{0, 1} 這個「數」的集合構成了域。
3. 用 (mod 3) 進行分類時的有限域
下面我們來看看 (mod 3) 的情況。
剩餘類包含 0，1，2 這三類。加法運算和乘法運算如下表所示。
由該表可知，由於 1 × 1 ≡ 1, 2 × 2 ≡ 1，所以 1 的逆元為 1, 2 的逆元為 2。也就是說，0 以外的數都有逆元，所以 {0, 1, 2} 構成了域。
4. 用 mod 4 進行分類則無法構成有限域
接下來讓我們用 (mod 4) 進行分類。剩餘類共包含 0，1，2，3 這四類。
根據上表可知，此時 2 · 2 ≡ 0，所以 2 沒有逆元。
也就是說，因為非 0 的 2 沒有逆元，所以不能構成域。
5. 用 mod 5 進行分類時的有限域
下面讓我們來試試用 (mod 5) 進行分類。由於剩餘類包含 0， 1，2，3，4，所以加法和乘法表如下。
根據乘法表可知，
由此可知，除 0 以外的其他「數」都有逆元。
6. 若 p 為素數，則剩餘類為有限域
至此，我們可以推測出當 n 為素數時，(mod n) 的剩餘類能構成個數為 n 的有限域。
事實的確如此。
我們知道，當 p 為素數且用 (mod p) 進行分類時，費馬小定理是成立的。
也就是說，對於非 0 的 a 而言，以下同餘式恆成立。
在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2)，則
由此可知，a^(p-2) 是 a 的逆元。
因此，非 0 的 a 確實總是存在逆元。由此可知，相應的剩餘類可以構成域。例如 (mod 5)
同理可得
再如 (mod 7)
綜上，以素數 p 為 mod 後得到的剩餘類能構成個數為 p 的有限域，由此可知 1 個素數有 1 個有限域。然而，由於素數有無窮多個， 所以有限域也有無窮多種類。
7. 根據原根表找出逆元
如果我們手邊有原根表，那麼就能輕鬆地找出逆元。例如 (mod 7)。因為原根為 3，所以
由此可知
也就是說，當 3^s 表示逆元時，用 6 減去（原來的數的）指數即可得到 S。
上文節選自人郵·圖靈《數學女王的邀請：初等數論入門》, [遇見]已獲授權.