來源：http://blog.csdn.net/yunduanmuxue/article/details/11924089
一般地，含有未知函數及未知函數的導數或微分的方程稱為微分方程。微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階。
按照不同的分類標準，微分方程可以分為線性或非線性，齊次或非齊次。
一般地，微分方程的不含有任意常數的解稱為微分方程的特解，含有相互獨立的任意常數，且任意常數的個數與微分方程階數相等的解稱為微分方程的通解（一般解）。
下面介紹微分方程的求解方法。
一、一階微分方程
一階微分方程具有如下一般形式：
1.可分離變量
這類方程可以化為如下形式：
設 ，可以通過下式求解
如果 ，則易知 也是方程的解。
2.齊次方程
形如
的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程。
通過變量替換，可以將這類方程化為可分離變量的方程來求解。
令
或
其中 是新的未知函數，則有
將式代入原方程，得
分離變量，兩邊積分，有
求出積分後，再將 回代，便得到方程的解。
3.可化為齊次方程的微分方程
有些問題本身雖然不是齊次的，但是通過適當變換，可以化為齊次方程。
例如，對於形如
的方程，先求出兩條曲線
的交點 ，於是作平移變換
這時，原方程可以化為齊次方程
4.一階線性微分方程
形如
的方程稱為一階線性微分方程。
當 時，上式變為
這個方程稱為一階齊次線性微分方程。
一階齊次線性微分方程是可分離變量的方程，由上面的方法可以得到方程的通解為
其中 是任意常數。
下面再討論一階齊次非線性方程的通解。
將方程變形為
兩邊積分，得
若記 ，則
即
與齊次方程的通解相比較，易見其表達形式一致，只需將 換為函數 。由此可以引出求解一階非齊次線性微分方程的常數變異法。即在求出齊次方程通解後，將通解中的常數 變異為待定函數 ，並設一階非齊次方程的通解為
求導，得
將 和 代入原方程，得
積分，得
從而得到一階非齊次線性微分方程的通解為
上述公式可以寫成
從中可以看出，一階非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次線性方程的通解與其本身的一個特解之和。這個結論對高階非齊次線性方程亦成立。
5.伯努利方程
形如
的方程稱為伯努利方程。其中 為常數，且 。
伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當的變換，就可以把它轉化為線性方程。
方程兩端同時除以 ，得
於是，令 ，就得到關於變量 的一階線性方程
利用線性方程的求解方法求出通解後，再回代原變量，便可得到伯努利方程的通解
二、特殊二階微分方程
本節介紹三種可以通過化簡來求解的二階微分方程形式。
1. 型
這是最簡單的二階微分方程，求解方法是逐次積分，得到
這類方程的解法，可以推廣到 階微分方程
只要連續積分 次，就可以得到這個方程含有 個任意常數的通解。
2. 型
這類方程的特點是不顯含未知函數 ，求解方法是：
令 ，則 ，原方程化為以 為未知函數的一階微分方程
設其通解為
然後回代變量，又可以得到一個一階微分方程
對它進行積分，可以得到方程的通解
3. 型
這類方程的特點是不顯含未知函數 ，求解方法是：
把 暫時看成自變量，並作變換 ，於是，由符合函數求導法則，有
這樣將原方程化為
這是一個關於變量 的一階微分方程，設它的通解為
這是可分離變量的方程，對其積分得到原方程的通解
三、二階線性微分方程
二階線性微分方程的一般形式是
函數 成為方程的自由項。
當 時，方程變為
後者稱為二階齊次線性微分方程，前者稱為二階非齊次線性微分方程。
下面介紹幾個重要的定理。
定理一：如果函數 與 是方程 (2) 的兩個解，則
也是方程 (2) 的解，其中 是任意常數。
這個性質表明其次線性方程的解符合疊加定理。
補充一個定義：如果 是定義在區間 內的兩個函數。如果存在兩個不全為零的常數 ，使得在區間 內恆有
則稱這兩個函數在區間 內線性相關，否則稱為線性無關。
定理二：如果函數 與 是方程 (2) 的兩個線性無關的特解，則
也是方程 (2) 的通解，其中 是任意常數。
定理三：設 是方程 (1) 的一個特解，而 是其對應的齊次方程 (2) 的通解，則
是二階非齊次線性微分方程 (1) 的通解。
定理四：設 分別是方程
的特解，則 是方程 的特解。
這個定理通常稱為非齊次線性微分方程的解的疊加定理。
定理五：設 是方程
的解，其中 為實值函數， 為純虛數，則 分別是方程
的解。
在方程 (1) 中，係數是隨 變化的，這類方程求解比較困難，下面介紹處理這類方程的兩種方法。
1.降階法
考慮二階齊次線性方程
設 是方程的一個已知的非零特解，作變量替換
其中 為待定係數，求 的一階導數和二階導數，得
將他們代入方程，得
各項係數是 的已知函數，因為 是原方程的解，所以，其中 的係數為 0 。
故上式可以化為
再做變量替換 ，得
分離變量
兩邊積分，得其通解
其中 為任意常數。
對 積分，得
其中 為任意常數。
代回原變量，就得到原方程的通解
這個公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式。
綜上所述，對於二階齊次線性方程，如果已知其一個非零特解，作變量替換 就可將其姜維一階齊次線性方程，從而求得通解。
對於二階非齊次線性方程，若已知其對應的齊次方程的一個特解，作同樣的變量替換（因為這種變換並不影響方程的右端），也能使非齊次方程降一階。
2.常數變異法
設有二階非齊次線性方程
其中 在某區間上連續，如果其對應的齊次方程
的通解 已經求得，可通過如下方法求得其通解。
設非齊次方程具有形如
的特解，對 求導數，得
把特解代入原方程，可以得到確定 的一個方程，因為這裡有兩個未知函數，所以還需要添加另一個條件，為計算髮辮，我們補充如下條件： ，這樣
代入原方程，並注意到 是齊次方程的解，經整理得
與補充條件聯立，得方程組
因為 線性無關，即 常數，所以
設 則有 ，所以上述方程有唯一解，解得
積分並取一個原函數，得
於是，所求特解為
所以，所求方程的通解為
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