簡諧振動二階微分方程求解過程
2021-02-08 學物理愛科學很多同學對於簡諧振動的表達形式，尤其是關於角頻率的定義，與振動的二次微分方程的關係不是很清楚。（雖然我講了很多遍，但還是許多同學在問，為何將k，m的比值定義為角速度\omega的平方，看來上課時有許多同學沒聽，或者，我說的話其實作用不大，那我以後是不是可以少說幾句，聲音也可以小 一點）
本來這部分是不做要求的，既然同學們感覺這個地方是你理解的障礙節點，那麼我這個給一個簡單地解題過程。可能你們在高數中還沒有完全接觸到二階微分方程的求解，且我的求解過程可能在數學老師或者教科書的角度看，不是很嚴謹，但不妨礙你看懂這個解題過程。下面是簡單地求解過程：
怎麼樣，看明白了吧？
這裡我們不要求這樣的求解過程，但應該知道是怎麼來的，明白這樣的解題思路，也不枉我上午花費兩個多小時，敲了代碼，編譯出來，發公眾號，不求點讚，只求看明白。
而且在接下來的內容中：波動也是由二次常係數齊次偏微分方程求解出來的，其中的一個係數也有特定的含義，就是波傳播的速度。電磁波也是由交變電、磁場變化的偏微分方程求解出電磁波的表達式，其傳播速度大致是每秒鐘30萬公裡，也是有微分方程中的特定係數給出的傳播速度公式計算出來，然後實驗證實的。
相關焦點
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簡諧振動的運動學方程是怎麼來的?
二階常微分方程。叫「微分方程」是因為方程中有自變量的微商；叫二階是因為微商的階數最高是二階的；叫「常」是因為函數的自變量只有一個，即時間t。為什麼說尷尬呢？你瞧瞧，有著恩恩怨怨的牛頓和胡克雖然吵了一輩子，但是他們在科學上的成就卻彼此左手拉右手，至少在描述簡諧振動這件事兒上，別提它們有多甜蜜。 -
簡諧振動之運動方程
在 A-Level 物理課程中，簡諧振動是一個很重要的知識點。根據定義，凡是加速度和偏離平衡位置的位移之間有大小成正比、方向相反關係的運動，就被稱作為簡諧振動（simple harmonic oscillation）。 -
求解微分方程
微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階。按照不同的分類標準，微分方程可以分為線性或非線性，齊次或非齊次。一般地，微分方程的不含有任意常數的解稱為微分方程的特解，含有相互獨立的任意常數，且任意常數的個數與微分方程階數相等的解稱為微分方程的通解（一般解）。下面介紹微分方程的求解方法。 -
《常見一階微分方程》類型及其一般求解思路與步驟
一、《高等數學》一階微分方程分類：第一類：可分離變量的微分方程及其分離變量的求解方法，包括齊次微分方程（換元法）。 第二類：一階線性微分方程，其中齊次線性微分方程的求解歸結為可分離變量的微分方程；而非齊次線性微分方程基於常數變易法，或稱為待定函數法，直接得到非齊次線性微分方程的通解或者基於線性微分方程解的結構求得其一個特解來求通解：非齊次線性微分方程的特解 -
了解高階線性微分方程——初識二階線性微分方程
題目在小編的上一篇文章：我要把你變弱——可降階的高階微分方程。做這部分的題目，首先要分清楚每道題是三種類型中的哪一種，然後才可下手做題。小編是這樣判斷的，首先看看方程中有沒有y，如果有y，那麼肯定是第三類，如果沒有，那就是第一或者第二類。 -
振動學相關基礎知識!
「傳聲媒質質點產生的一系列力學振動的傳遞過程」。可以發現，這裡有兩個關鍵點，一是媒質，二是振動。通俗地講，聲源振動，然後帶動周圍的媒質振動，周圍的媒質帶動更遠處的媒質振動，由近及遠，這就是聲振動的傳播過程。本節主要討論振動體（聲源）的振動特點。考慮振動物體的尺度遠小于波長（振動一次傳播的距離），即各部分的運動狀態基本相同的情況，此時可以將振動物體看成集中參數模型進行分析。 -
常微分方程中的重要方程:黎卡提方程(一階二次非線性微分方程)
前面我們了解了什麼是一階線性微分方程，可分離變量微分方程，以及齊次微分方程，本篇講升上一個高度，一階微分方程中的二次微分方程義大利數學家在17世紀提出了著名的「黎卡提方程」，這個方程看上去挺簡單的，但分析起來相當複雜 -
(數一)二階常係數線性微分方程
正文：什麼是二階常係數線性微分方程？二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間I上的連續函數，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。 -
一階線性微分方程
做數學題有三種難：有一種難叫我想不起來了，有一種難叫我知道不會算，還沒有一種難就是我壓根不知道；一階線性微分方程就是最後一種，是不是很多小夥伴有這種感覺！別激動這個玩意，屬於大學微積分的知識，數學招教考試中會考嗎？菏澤的小夥伴要注意嘍！趕快學起來吧！一階線性線性微分方程：形如 -
偏微分方程 (PDE)
偏微分方程理論研究一個方程 (組) 是否有滿足某些補充條件的解 (解的存在性)，有多少個解 (解的惟一性或自由度) ，解的各種性質以及求解方法等等，並且還要儘可能地用偏微分方程來解釋和預見自然現象以及把它用之於各門科學和工程技術。 偏微分方程理論的形成和發展都與物理學和其他自然科學的發展密切相關，並彼此促進和推動。 -
描述物質運動變化的數學學科：常微分方程、偏微分方程
隨著分析學對函數引入微分運算，表示未知函數的導數以及自變量之間的關係的方程進入數學家的視野，這就是微分方程。微分方程的形成與發展與力學、天文學、物理學等科學技術的發展密切相關。因為在現實的世界中，物質的運動及其變化規律在數學上是用函數關係來描述的，這意味著問題的解決就是要去尋求滿足某些條件的函數，而這類問題就轉換為微分方程的求解問題。 -
Matlab中ode45函數的使用(常微分方程求解)
利用matlab可以很方便的對非剛性常微分方程進行求解，其提供了大量的內置函數可以幫我們實現需要的效果，如ode45（4-5階龍格庫塔方法），ode23（2-3階龍格庫塔方法），ode113（多步法）等。ode45其求解精度相對較高，是我們經常使用函數 。 -
高等數學《常微分方程》內容總結、題型求解方法與典型題
二、可降解的微分方程類型及典型問題求解可將階的微分方程歸根結底可以歸結為一階微分方程問題，針對於一般教材中只討論了二階的類型，可以擴展為如下三種類型:(1) y(n)=f(x)對於這樣的n階微分方程可以採取對右端逐步積分的方法，通過n次不定積分即得到包含有n個相互獨立的任意常數的通解 -
先從求解符號微分方程講起
本次公眾號將介紹符號微分方程的求解方法，包括求解符號微分方程的通解和特解。在MATLAB中，求解符號微分方程通解的命令格式為：y=dsolve('equation','x');其中，equation為符號微分方程，x為符號自變量。利用該命令可以非常方便的求出符號微分方程的解析通解。舉例說明：求微分方程y'=x+1的通解y=f(x)。 -
用Python數值求解偏微分方程
然而，只有很少的微分方程可以解析求解，尤其對於偏微分方程，能解析求解的種類更是寥寥可數。更多的微分方程可以採用數值法進行求解，只要精度足夠高，就可以滿足科學和工程上的需求。Python的Numpy、Scipy工具包可以很好地實現此功能，Matplotlib工具包則可以將求解結果畫為非常直觀的圖形。接下來，我們先以常微分方程的數值求解為例，引入差分的思想，再將其推廣到偏微分方程中。 -
Matlab/Simulink建模詳解:一階時變偏微分方程的求解
Matlab/Simulink建模詳解：一階時變偏微分方程的求解 這一次日篤小編來教大家如何在simulnk裡面，求解偏微分方程（Partial Differential Equation-PDE）。跟ODE不同的是，PDE的變量不僅是時間的函數，而且也是空間的函數。舉個簡單的例子：炒菜的鍋的鍋壁溫度，溫度這個變量不僅僅是時間的參數（不同時候，鍋壁同一個點的溫度不一樣），而且也是空間的參數（同一時刻，鍋壁不同位置的溫度不一樣）。求解PDE的時候可以直接求解，也可以先轉化成ODE，再用求解ODE的方法求解。這裡，小編先將PDE轉化成ODE再求解。 -
偏微分方程的起源
微積分方程這門學科產生於十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，隨後不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。 -
001一階微分方程
定義 含有未知函數的導數階數為一的方程即為一階微分方程 (3)一階線性方程 若由 解法 換元化為一階線性方程令 一階線性微分方程 故所以 故該方程為全微分方程 -
微分方程:極富生命力,包羅萬象的數學分支
因為在現實的世界中，物質的運動及其變化規律在數學上是用函數關係來描述的，這意味著問題的解決就是要去尋求滿足某些條件的函數，而這類問題就轉換為微分方程的求解問題。偏微分方程如果一個微分方程中出現多元未知函數的偏導數，那麼這就是偏微分方程。偏微分方程作為一門學科產生於18世紀對振動弦問題的研究。在科學技術飛速發展過程中，更多的問題無法用只含一個自變量的函數來描述，多個變量的函數來描述才更合適。 -
微分方程重點二:常係數非齊次線性微分方程
小編在之前的文章：微分方程重點一中講了常係數齊次線性微分方程的內容。那是微分方程難點的一半，接下來的內容是另外一半。讓我們在講解之前，先來對一下答案。題目在微分方程重點一：常係數齊次線性微分方程中。並且考試中的非齊次線性微分方程也只會考這兩種形式。這裡的所用的方法不用積分就可得出特解 y*。這種方法就是待定係數法。形式一：這裡根據λ，不是特徵方程的根，是特徵方程的單根，是特徵方程的重根分為三種情況。證明過程在高數課本p348，這裡不予證明。