長按上方藍字關注本公眾號，一起堅持閱讀！
《數學通識50講》
學過高中數學的人都知道數列之和即為級數，也知道怎樣計算級數，不過級數有啥實際應用呢？恐怕很多人學高中數學只是為了高考拿個好分數，之後便不再理會，更別說明白其實際用處。
下面來看看級數是怎樣運用在看明白傳銷騙局、爆款文的誕生和核裂變等領域。
傳銷通俗來說，就是拉人頭發展下線，你拉別人進來，別人再拉新人進來，每次進人，你都有提成。這麼一來，只要你的下線不斷把新人拉進來，你什麼都不用幹，就能躺著拿錢了。
只要發展的下線足夠多、無限多，那你就能賺到數不清的錢，大多數搞傳銷的老鼠會都是這麼忽悠人的，就算不考慮坑蒙拐騙和暴力傷害等手段，這套「賺錢經」實際上真的成立麼？
我們從數學上看看這個看似沒問題的「發財經」是否可行。
先假定某個傳銷公司的提成方式只覆蓋兩層：
1.每一個人入會需要繳納 1 萬元（或者買 1 萬元的東西）；
2.發展一個直接下線，可以從後者的身上提成 20%；
3.直接下線每發展一個下線，可以從下線的下線身上再提成 20%的 20%。
接下來的問題是，張三入會了，他在什麼情況下可能掙到錢？
為了簡便起見，我們先分析兩種情況：
情況 1：張三找到 5 個朋友也加入這個老鼠會，而他的每一個下線也發展了5 個下線。這樣，他付出 1 萬元，而從每個直接的下線身上得到10000×20%=2000 元，五個下線一共給他帶來 1 萬元。類似的，下線的下線也可以給他帶來一共 1 萬元，兩者相加是 2 萬元，張三賺 1 萬元。
情況 2：張三找到 3 個朋友也加入這個老鼠會，而他的每一個下線也發展了3 個下線，這樣他的收入一共只有 9600 元，反而虧了 400 元。
從這兩個例子可以看出，要想在老鼠會中掙錢，並不是一件容易的事情。一個人可能會因為一時衝動，或者貪財而被卷進去，但是他要在朋友中找到 5個和他同樣糊塗或者貪財的人，並不容易。
而且，由於朋友之間的朋友圈有很大的交集，通常的情況就是張三想發展的人，和他的朋友想發展的人都是一群人（人脈圈的拓展也是這個道理）。
接下來我們再看另一種情況，假設這個老鼠會對會員「特別好」，每一個會員可以自己拿下面所有層會員的提成，當然每往下一層，提成的比例要逐級指數遞減。
這樣的話，如果層數不斷加深，直到無窮，是否處在比較高層的人就有無限的錢可以拿了呢？很多人，包括我的直觀感受就是如此。
但其實呢，未必。
這要看每一層的人能發展多少會員了。在上面第一種情況下，即張三成功地發展了五個下線，而每個下線也發展了5 個，張三還真能拿無限多的錢，因為每一層都給他貢獻了 10000 元，如果層數不斷漲下去，他就能拿無限的錢。
但是，在情況 2 時，也就是張三和他所有的下線（既包括直接的，也包括間接的）每人都發展了三個人。雖然張三掙的錢可以超過他付出的 10000 元，但卻是有限的。
具體來講，他從下一層下線獲得 6000 元，下面第二層獲得3600 元，第三層獲得 2160 元，這樣逐漸減少，最後無限加下去，總和並不是無窮大，而是一個有限的數，只有 1.5 萬元（居然不是無窮多的？！）。
此外，讓我們再看另一個可能性。
情況 3：張三和他所有的下線每人都發展了兩個人，這樣張三從各層下線掙到的錢的總數是：
4000+ 1600 + 960 + …… = 6666.67 元
雖然看上去他從無窮多的人身上掙到了錢，可是，這掙錢的效率衰減很快。他掙的錢還沒有付出的本錢多。
很多人誤以為只要從無限多的人身上掙錢，就能掙很多錢。
這其實是不了解級數這個概念而產生的誤解。學過高中數學的人恐怕很少有人能想得這麼明白，只知道埋頭於題海，哪知道級數居然還能有這樣的現實用處。
接下來我們就從理論上分析一下幾何級數，也就是幾何數列求和的問題，把這個問題搞清楚，上面那個老鼠會掙錢效率的問題就迎刃而解了。
我們還是從老鼠會分配錢的方法入手。我們假設每一個人發展了K 個下線，從每個直接下線分錢的百分比為 p，從第二級下線分錢的比例為p^2，那麼第三級的比例為p^3，因為要分 3 次，以此類推，逐級下降。
如果每一個人交的會費為A，那麼一個人能拿到的錢就是： A×K×p + A×(K×p)^2 + A×(K×p)^3+ A×(K×p)^4 + …… 這是一個等比級數，或者叫做幾何級數。
這麼加下去等於多少呢？
很顯然，如果 K×p≥1，它就是無窮大，這也就是為什麼當分成比例為 20%時，每個人只要發展五個下線，從理論上講，能掙無限多的錢。這時，上述的級數被稱為發散的。
但是，K×p<1 時，上面這個式子雖然加了無窮多項，但到後面都是零點幾這樣的小數的次方，只能是越乘越小，所以總和是一個有限的數（A×K×p/（1-K×p））。
當然，K×p 越接近於 1，這個數越大，K×p 越小，這個數越小。這時，上述級數被稱為是收斂的。
其實可以把每一項的「K×p」用r 來表示。什麼時候發散，什麼時候收斂，這個r 是關鍵，它其實是後一個元素和前一個的比值，比如斐波那契數列，它的後一項比前一項，就是黃金分割 1.618，至於翻番的指數數列，它就是 2，因為我們知道翻番就是翻兩倍。
當r≥1 時，這個級數就發散，加起來無窮大。
當r<1 時，它就收斂，加起來是一個有限的數。
了解了級數的發散性和收斂性，對我們生活、工作和科研會有很多幫助，可以幫我們看清很多類似的迷局。
下面我們再看兩個例子：
1、社交網絡上的信息傳播問題
在社交網絡上，有時一篇文章會被不斷地轉發，然後大家就看到相關的事件被發酵了。這很好理解，我們常說，一傳十，十傳百，其實就是說當 r=10的時候，一個人發出信息後，經過幾何級數的增長，數量劇增的情況。
但事實上，一條信息總是傳著傳著就死了。
大部分公眾號文章的閱讀量都不過萬。那麼問題出在哪裡呢？我們就用等比級數分析一下。
我們假定訂閱公眾號的人中閱讀了某篇文章的第一批讀者數量是 A0。大家讀了之後覺得有價值，然後轉發了的百分比為 p，每一次轉發，平均能有 K 個受眾，而這些受眾中打開閱讀的比例為 q，那麼第二批讀者就有 A0×p×K×q個，我們把 p×K×q 用 r 代替，這就是前面的等比級數了，第三批有 A0×r^2 個讀者，以此類推。如果r > 1，那麼這篇文章就霸屏了。
但是如果r<1，無論怎麼傳播，無論一開始花多少錢讓 A0 變得多麼大，讀的人數都有限。
比如，第一批讀者是 5000 人（不算少了），接下來r=1/2，最終所有的讀者加起來，不到 1 萬。
如果r=0.9，那麼讀者數量就可以達到5 萬。
從結果來看，即便絞盡腦汁得設計標題黨，也並不能幫助提升閱讀量，因為真實的閱讀量擺在那裡。這裡面根本的原因就是，一旦讀者發現一篇文章是標題黨，他就有上當的感覺，都未必會讀完，更不要說轉發了，這個時候轉發傳播的因子 r 就可能遠遠小於 1，第二批讀者要比第一批少很多，第三批更少，然後就漸漸趨於零了。
不僅媒體如此，任何一個產品，要想成為爆款，都需要提高轉發率p這個比例，也就是大家使用後滿意，然後願意主動宣傳的比例。
換言之，精品戰略是王道。
2、關於核裂變的鏈式反應
核裂變就是一個快速運動的中子撞擊原子之上後，又會裂變為一些原子和中子，隨即釋放很多能量。如果每一個中子又撞上一個鈾原子，那麼就會釋放更多的能量。
這樣一級級撞下去就形成了所謂的鏈式反應，所有的鈾原子都被撞開，並釋放出大量的能量，這就是原子彈的原理。
但是，運動的中子隨機撞上鈾原子的原子核概率是很低的，大約是百萬分之一，這就是天然鈾礦不會變成原子彈的原因。
我們假定第一批參加核裂變的原子數量是 A0，那麼第二批只有 A0×r 個。我們知道只有 r>1，鏈式反應才能繼續，而且越來越劇烈。
那麼怎樣才能提高 r 這個值呢？
很簡單，首先鈾純度要高，這樣中子就有更多的機會撞到鈾原子上。
其次，鈾塊的體積要足夠大，這樣當中子錯過了第一個鈾原子時，它還有機會撞到其它鈾原子上。
能夠讓鏈式反應維持的最小鈾塊體積被稱為臨界體積，它其實就是保證r>1的體積。
原子彈的臨界體積是多少起初大家並不清楚，而這又顯然無法通過試驗測量出來，因為搞不好就會產生核爆炸。
所幸的是，奧本海默通過數學計算準確算出了這個臨界體積，這才讓曼哈頓計劃得以成功。
從這裡我們又可以看到數學的預見性。
要點總結：
1、我們討論了級數什麼時候會是無窮大，什麼時候是有限的。這裡面扮演關鍵角色的是相鄰兩個元素的比例r，如果r≥1，即後一個比前一個大，級數就是無窮大，就是發散的。反之，如果 r<1，它就是收斂的，多少項加到一起，它也是一個有限的數字。
2、我們在生活中，有些時候希望 r>1，比如我們要傳播消息，但是有些時候我們希望 r<1，比如我們不希望謠言擴散，時間會讓 r 逐步下降，這時要做的事情是千萬不要挑起新的事端，火上澆油。