1829年2月23日一個尋常的下午，俄羅斯的喀山大學物理數學系學術會議上，羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovich Lobachevsky 1792-1856）有些激動而又忐忑地宣讀著他的關於幾何的論文——《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。參加這次學術會議的學者不乏著名的數學家、天文學家、科學院院士等。
然而，這位年輕的數學教授像是喝醉了，說的全是「胡話」。比如三角形內角和小於180度、三角形面積越大內角越小、向銳角的一邊作垂線延長後可以不和另一邊相交…不僅荒誕離奇，而且與歐幾裡得《幾何原本》相牴觸。最讓人吃驚的是這些「胡言亂語」竟然從一個嚴謹的數學教授口中說出，著實令聽眾瞠目。他滔滔不絕談論的幾何不但與人們的經驗感知相違背，而且與有著兩千多年的漫長歷史、輝煌成就的歐氏幾何矛盾。誰會讓自己被這些離奇不經的論斷「忽悠」呢？
你可以想像當時聽眾的表情，大多在搖頭，即使是最寬容的聽眾也流露出不解的神情。論文宣講後，羅巴切夫斯基請在座的同行和專家提提意見，誰知會場竟然陷入長時間的沉默，沒有人發言或評論。會後的專家鑑定意見無疑否定的，最後據說居然把論文原稿還弄丟了。
然而，正是這篇突破性的論文的問世，標誌著非歐幾何的誕生。這個尋常的日子成為它的生日。標誌著古老的幾何學從經典走向了現代，並開啟了一個科學的新時代。
羅巴切夫斯基的發現無疑是突破性的，但為何不僅無人喝彩，後來還遭到詆毀中傷呢？
這還要從歐幾裡得著名的《幾何原本》說起。公元前三世紀，尼羅河三角洲北端的亞歷山大城的希臘數學家歐幾裡得，集前人幾何研究之大成，寫了一部由定義、公理出發，根據嚴密的邏輯，推導出初等幾何的全部定理和命題。全書共計13卷。2000多年以來，被無數自然哲學家和數學家奉為至高無上的經典，具有極其深遠的影響。這種公理體系的邏輯推理方式也影響了後世，如牛頓著名的《自然哲學之數學原理》等科學著作。書的開篇就陳述了23個定義(Definitions) 、5條公理(Postulates)、5條公設(CommonNotions)。
其中五條公理是：
1.等於同量的量彼此相等；
2.等量加等量，其和相等；
3.等量減等量，其差相等；
4.彼此能重合的物體是全等的；
5.整體大於部分。
五條公設是：
1.過兩點能作且只能作一直線；
2.線段(有限直線)可以無限地延長；
3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；
4.凡是直角都相等；
5.同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。
其中最後一條公設就是著名的第五公設也叫做平行公設。也可以等價的表示成為容易理解的形式：即過直線外一點有且僅有一條直線與原直線平行。等等！也許你會追問公理和公設是從哪裡來的呢？好問題。據說提問環節凡是不容易回答的問題都會先得到這樣的回覆。從上面的羅列你會注意到，公理是那些極簡的、必然的觀念或共識，被認為是純粹的、先驗的真理，並且與人類無數次的實踐經驗相一致。公理不像公設那樣局限於幾何，近代幾何不區分公設、公理，統稱公理。
後世學者對《幾何原本》中五個公理和前四個公設都是很放心的，唯獨對第五個公設總覺得不踏實，提出了質疑。並不是懷疑它的真實性，因為它的內容和形式與前面幾條不同，用途也遠不如前面幾條廣泛，而認為它像個可以被證明的定理，只不過由於歐幾裡得沒能將它證明，才不得不把它放在公設之列。因此自公元前3世紀起到19世紀初，很多人耗費了無數的精力曾試圖用前幾條公設證明之，從而把它變成一個定理，但都沒有成功。
羅巴切夫斯基正是兩千餘年來試圖解決歐氏第五公設問題的過程中的一個數學家，能有幸走上發現之路，與他不懈的思考分不開。
他原本想用數學中常用的反證法來證明，即假設過一點可以作兩條以上的直線與原直線平行，這樣只要推出的結論與已知的公理或定理矛盾就可以說明其假設的錯誤，也就是佯謬，從而反證出的正確，從而把其從公設中剔除。但他經過長久的證明推導後來發現，歐幾裡得第五公設是獨立的，不可能由歐幾裡得的其他公理給予證明。這原本也沒什麼，歷史上有很多人已經證實了這個結果。但羅巴切夫斯基的數學眼光畢竟是高人一籌，他想既然無法證明第五公設，那麼建立在另外的公設基礎上的幾何學在邏輯也是可行的！這無疑是一個觀念的飛躍。
與第五公設不同，他提出假設，即羅巴切夫斯基平行公理：過直線AB外一點C，在平面上可以作不止一條直線和AB平行。聽起來懂但不好理解，這也反映了被他稱為「虛幾何」的特點，與頭腦中的平直空間相悖…此外，平行直線m和n構成平行與不平行直線間的邊界，由此可見，過C點的AB的平行線不止一條而有無窮多條。在不涉及平行公理的部分，羅氏幾何和歐氏幾何是一樣的；反之則不同。比如在羅氏幾何中，三角形內角之和小於180°，而且隨著面積、邊長的增大而減小。當面積趨於零時，三角形內角之和趨於180°。也就是說，二者並不矛盾，甚至可以把歐式幾何視為是羅氏幾何趨近無窮小的近似解。後來的黎曼幾何也就是球面幾何，內角和就大於180°。
可以簡單用下面圖示來說明這種不同幾何間的差異，可究竟哪個是對的呢？當然在各自的公設出發點來說也它們都是正確的。所以今天我們的中學數學還要從歐式幾何學起。
在這篇論文之後的幾十年，羅巴切夫斯基的工作都沒有得到數學界應有的承認，甚至是已經獨立研究出相同結果的數學泰鬥高斯（CarlGauss），也沒有勇氣公開正面宣布支持羅巴切夫斯基的工作。當然還有匈牙利的數學家鮑耶（JánosBolyai）後來也獨立完成了類似的工作，因此後世把這三位共同稱為非歐幾何（Non-Euclideangeometry）的發現者與創始人。有人稱之為紫羅蘭現象，因為這好像春天到了紫羅蘭遍地花開一樣。但客觀地說，對非歐幾何的誕生貢獻最大的無疑還是那位一生都沒有離開過喀山的羅巴切夫斯基。
非歐幾何影響深遠，不僅僅是幾何或數學領域的巨大進步，而且對物理學、天文學以及時空觀念的變革都產生了深遠的影響。後來非歐幾何中的黎曼幾何被作為愛因斯坦廣義相對論的重要工具，深刻地影響了近代科學的發展，是人類認識史上又一個的偉大成果。
終於，在1893年，喀山大學樹立起了據說是世界上第一個專門為數學家所立的雕塑。他就是被後人讚譽為「幾何學中的哥白尼」的羅巴切夫斯基。但令人遺憾的是，他生前沒有獲得這樣榮譽。晚年雙目失明，晚景悽涼。巧合的是他的去世日期是2月24日，與他那篇當時無人喝彩的劃時代論文宣講日期僅相隔一天。