求解問題是最為獨特的自發性思考。
The solution of problems is the most characteristic and peculiar sort of voluntary thinking.
——威廉·詹姆斯（William James，美國心理學家，1842-1910）
撰文 | 林開亮（西北農林科技大學）
0、瑛 姑
金庸（1924年3月10日-2018年10月30日）
瑛姑是金庸先生 《射鵰英雄傳》中的「神算子」。在小說中，瑛姑與黃蓉是用幾道數學題過招的。黃蓉（請注意，她老爹是東邪黃藥師，擅長「奇門數術」）臨走時給瑛姑出的三道難題如下：
第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、羅睺、計都的「七曜九執天竺筆算」；
第二道是「立方招兵支銀給米題」；
第三道是「鬼谷算題」："今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？"
其中第三道題最有名，涉及數論中著名的中國剩餘定理。
第二道題涉及高階等差數列的求和。
至於第一題，恕我無知，至今仍不清楚金庸先生具體指的是哪個問題。毫無疑問的是，黃蓉出的第二題與第三題分別代表了我國古代數學的兩項傑出成就，由此可以揣測，第一題也當如此。照西北大學數學史家曲安京教授的看法，中國古代數學有三部集大成的代表作，《九章算術》（西漢）、《數書九章》（南宋）與《四元玉鑑》（元代）。黃蓉出的第二題與第三題之詳細討論，就分別見於後兩部著作。
相信讀者已經看出，鄙人確實是金庸的忠實粉絲。實際上，我幾年前就有想法要給金庸先生寫封信，問詢他老人家何以會想到在《射鵰英雄傳》中塑造這樣一個「神算子」形象，並借黃蓉之口道出中國古代數學的這些傑出成就，他又是何以了解到中國古代數學這些傑出成就的。後來我將這一想法轉告了香港中文大學的陳方正教授，他告訴我，金庸先生身體不好，建議我不要打擾，我就作罷了。
最近我從網上讀到一篇文章，對我的問題給出了一個指引，其中有這樣一段：
金庸年輕時在《大公報》上寫過一篇隨筆《圓周率的推算》（後來收進《三劍樓隨筆》，全文見本號二條），裡面提到一本《算學的故事》：「我在初中讀書時，教我數學的是章克標先生*，他因寫小說出名，為人很是滑稽，同學們經常和他玩鬧而不大聽他講書。他曾寫過一部《算學的故事》，其中說到有一個歐洲青年花了極長的時間，把圓周率推算到小數點後六百多位。這個圓周率，當然是毫無實用價值的。」
*註：章克標（1900-2007）是東京高等師範學校數學系的學生，回國後任教於中學與大學，先教數學，轉向文學後，又教過語文。有興趣的讀者，可見其自傳《世紀揮手》，書名乃金庸手書。
今天我要寫的這個題目，一方面是受到黃蓉提問的啟發，另一方面也是受到金庸《天龍八部》裡的一段情節（第46節，酒後君問三語，西夏公主提問招親）的啟發，有興趣的讀者可見下述視頻，我不再展開（我覺得這本質上是一個對偶的話題：你所提出的最好的問題是什麼？）：
西夏公主（毋寧說是金庸前輩）提出三個簡單的問題：
你一生中最逍遙快活的地方在哪裡？
你生平最心愛的人是誰？
你最愛的這個人相貌如何？
讓天下群雄盡顯各自本色（最令人唏噓的是喬峰的回答，不過在原著中，喬峰是先行離開從而迴避了這些問題）。好了，我們就此打住。現在我們來看幾位著名人物所分享的刻骨銘心的數學題吧！
1、楊振寧（1922-）
楊振寧
在華東師範大學數學系張奠宙教授對楊振寧先生的訪談（參見《楊振寧和當代數學》）中， 楊振寧先生提到了他在西南聯大時，陳省身先生給他們出的一個題目：
在西南聯大，我很可能旁聽過陳省身的好幾門數學課，但是根據保存至今的成績單，我只是在1940年秋季學期正式選修過他講授的微分幾何課程。當時我是物理系的三年級學生。
張：這門課您有所得益吧?
楊：當然。不過我已經記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個二維曲面保角等價於平面？我知道如何把度量張量化成
的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復變量，並寫下：
這個式子。學到這簡單的妙訣，是我畢生難忘的經歷。
最近我從西北大學數學系劉建新博士的博士論文中得知，原來這結果和技巧都歸功於高斯（Gauss）。楊振寧這段回顧的重點是，陳省身令他認識到複數的重要性。陳省身先生常說的一句話是，複數使數學簡單化（一個最顯著的例子是代數基本定理：多項式在複數域內必有零點）。我想法國數學家阿達瑪 (Hadamard) 的一句名言很能夠表達這個意思：
2、徐利治（1920-2019）
徐利治
在我讀過的所有中國數學家的傳記與訪談錄中，我最喜歡的是關於徐利治的一本：《徐利治訪談錄》（袁向東、郭金海訪談整理，湖南教育出版社，2009年）。徐利治在書中談到了許多有趣的東西，如他眼中的華羅庚、陳省身與許寶騄等（參見徐利治先生訪談錄：我所知道的華羅庚與陳省身）。他在書中分享了在西南聯大求學時請教陳省身的一道題目（見上書73-74頁）：
我在西南聯大二年級的時候，有一次到數學系辦公室請教陳先生一個級數求和問題。這個問題是：
如何計算？
陳先生看了很久，沒有回答出來。後來我才知道，這個求和問題沒有精確的公式表達，但可以用歐拉-麥克勞林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似計算。可見，當時陳先生的分析基礎也不是十分強。
這裡徐利治先生分享了他的後見之明：這個和是求不出來的——其結果沒有一個簡單的公式表達。那麼能做的，只是近似求和，即，求出這個和的一個近似值。換言之，我們所能解決的，是下述問題（請注意，這裡改變了問題的提法，唯有如此，方才可解）：
問題0：求
的近似值。
徐利治想到的方法是用歐拉-麥克勞林求和。照理說，這個方法如此基本，陳省身不大可能不知道。所以，更有可能的是，陳省身裝作不知，讓徐利治自己去鑽研。
上面將問題重新表述的變通策略，正好印證了挪威數學家阿貝爾（Abel）的高見：
人們應該力求給問題一種形式，使得它總是可解的，這總是可能的。以恰當選擇的形式提出問題，其敘述本身就會包含著解答的種子。
阿貝爾
3、何兆武（1921-）
何兆武
我還想到西南聯大的另一位傑出校友，他叫何兆武，著名的歷史學家。在其自傳《上學記》（何兆武口述，文靖執筆）一書（90-91頁）中，他曾回憶起他參加1939年西南聯大高考時所遇到的一道數學題：
那一年數學考題非常之難，也不知道是誰出的，比我們中學所學的更深。其中有一個題目我還記得，在橢圓上任取一個點，問：把這個點到橢圓上每個點連線的中點連接起來，是什麼圖形，並列出方程。
我知道連起來是一個內切小橢圓，給描出來了，可是列不出公式。有個同學數學學得非常好，考完了以後跟我講，這道題不能用正坐標（即直角坐標）表述，得用極坐標。經他一說，我就想起來了，所以印象特別深。另外，這件事也給了我極大的啟發，一個終生受益的啟發：當我們的思想解釋不通的時候，就得換一個坐標，不能死硬地按原來的模式去套。
我想，歷史中真正學術上、思想上的重大突破，大概都需要坐標的轉換。有些用原來的坐標解釋不了了，卻仍在那裡生搬硬套，是行不通的。
威廉·詹姆斯：我這一代人的最大發現是，個人可以通過改變其態度來改變人生。
1939年高考題，即報考工學、理學、物理、化學、天文、氣象、土木、師範之數理化等專業者。當年的命題人是江澤涵（召集人）、楊武之、姜立夫、趙淞。
1939 年國立各院校統一招生數學試題 (應第二組考試者試之)
本人嘗試了一下，感覺這個問題用直角坐標也很簡單。不過，我對何兆武先生最後的領會（換坐標）深有共鳴。江湖上有些算命術士也很會利用坐標。
順便說一句， 第一節裡陳省身先生出給楊振寧的那個題目，其實就是證明曲面上存在等溫坐標（一種方便的坐標）。
4、阿諾德（V. I. Arnold，1937-2010）
阿諾德
跟俄國的許多數學大師（如柯爾莫果洛夫、蓋爾範德）一樣，阿諾德 (1937-2010) 不僅是卓有成就的數學家，也是極優秀的數學教育家。他曾寫過一本書：
其中收入了為5-15歲的孩子準備的77個數學問題。
我們選取其中一道分享給讀者，尤其建議那些想了解國家公務員考試數學考題的讀者考慮一下，因為兩者水平相當。
問題1：甲、乙兩個老太太在日出時同時出發，甲從A地往B地走，乙從B地往A地走，都是勻速前進。她們在正午相遇，然後繼續不停地走，甲到達B地的時間是下午4點，而乙到達A地的時間是下午9點。問，當天日出的時間是幾點？
阿諾德在1991年的Notices訪談中曾說：「當時我花了一整天的時間來思考這個老掉牙的問題，而答案則是一種出乎意料的方式得到的。」當時他還是小學生，不知道今天的小學生要多久才能想出答案呢？
5、幾個補充的練習
《射鵰英雄傳》之東邪西毒
問題2（小學水平，加州大學伯克利分校數學系伍鴻熙教授提供）：
有一杯紅酒和一壺茶水，先從茶水中盛一勺倒入紅酒中，均勻攪拌後再盛一勺倒回茶水中。請問此時杯中含有的茶水和壺中含有的紅酒，哪個更多？如果沒有攪拌均勻，情況又會怎樣？
（有興趣的讀者，可以參考伍鴻熙教授《數學家講解小學數學》第23章「一些有趣的應用題」 問題4，中譯本（趙潔、林開亮譯，北京大學出版社）第316頁）
問題3（小學-初中水平，西北大學數學系劉建新博士提供）：
如圖，從A到B有兩條路線。綠色路線由一條豎直方向的線段和一條水平方向的線段組成；紅色路線是階梯狀的，每段線段分別是水平和豎直的。問兩條路線哪個更近？
問題4（小學-初中水平，本人經歷，猶記當時很多帶表的同學在撥動發條）：
在7點到8點之間的哪一個時刻，手錶上的時針與分針重合？
問題5（初中水平，本人初三經歷，曾作為思考題在課堂上出給大一新生）：
在下述矩形中，已知三個角上的三角形的面積分別為3，4，5，求中間的三角形的面積。
註：對這個問題，南開數學所唐梓洲教授跟清華扶磊教授討論給出了一個小學水平的高明解法。
問題6（高中水平，西北農林科技大學物理系劉昌勇教授提供，是1939年數學高考題第一題，見何兆武那一節的圖片）：
問題7 （高中水平，中央民族大學數學系王兢老師提供，是波利亞《怎樣解題》中譯本75頁「定義」一節的例子）：
給定一條直線，又給定一條拋物線的焦點和準線，用尺規作圖找出該直線與拋物線的交點。
問題8（大學水平，美國加州大學爾灣分校數學系陸志勤授提供）：
證明：在n維歐氏空間中，兩兩夾角為鈍角的向量至多有 n+1 個。
問題9（大學水平，不久前準備一個科普報告時遇到，是劍橋大學本科生榮譽學位考試的題目，我也不會，一併求教方家）：
如圖，證明人在深水中平穩遊泳時激起的波浪其夾角總是2arcsin(1/3)。
該題是橋大學數學系本科生主頁（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一個Tripos考題。
6、結語
歡迎大家在留言區分享那些讓你刻骨銘心的數學題（不要太難哦）。這樣吧，我再借花獻佛，分享我一個好友（天津大學物理系劉雲朋教授）的反饋：
我最先想到的是：走二維迷宮（在像二維碼一樣的方塊區域開一個入口、一個出口，要在裡面從入口走到出口那種）的通用解法：從入口摸著一側的牆壁一直走下去就能出去了。照我的理解，迷宮的解就是找一條線把兩個彼此不連通的區域分開，那麼沿著一個連通區域的邊界轉一圈就行了。從拓撲的角度看，迷宮就不迷了。
好了，我要說的說完了，輪到你們啦。
《天龍八部》之天山童姥
致謝：感謝中科院自然科學史研究所郭金海研究員為我提供1939年的高考數學試卷文獻，感謝西北農林科技大學尹昌輝同學、姚健同學、聶嘉玥同學提供技術支持！感謝天津大學物理系劉雲朋教授、數學系劉志新教授、西北農林科技大學物理系劉昌勇教授、上海交通大學數學系吳耀琨教授、李吉有教授、中央民族大學數學系王兢教授、中國傳媒大學陳見柯教授、中國礦業大學張漢雄教授、西北大學數學系劉建新博士、以及友人張寶群博士、張浩博士、葉盧慶老師的分享交流。
本文第一版曾發表於微信公眾號「好玩的數學」，此文為作者最新修訂版。
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