【解三角形】判斷三角形形狀

2021-02-19 成都數學王健平老師

 判斷三角形形狀有兩個思路：一是化邊為角，再進行三角恆等變換，判斷角度範圍；其二是化角為邊，再進行代數恆等變換，求出三條邊之間的關係式，兩種轉化主要應用正弦定理和餘弦定理。另外，因式分解、配方法等方法也常有涉及。


一、直接利用餘弦定理判斷三角形形狀

例1、若把直角三角形的三邊都增加相同的長度，則新的三角形的形狀是          。

解：設直角三角形三邊為a,b,c,且滿足，三邊都增加的長度為m，則新的三邊長度為b+m,c+m,a+m。顯然a+m為最長邊，

二、利用正弦定理邊化角

邊化角：由正弦定理，可得: a=2RsinA

例2、已知∆ABC 中acosA=bcosB，試判斷∆ABC的形狀.

解：acosA=bcosB,

由正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB

2RsinAcosA=2RsinBcosB    

化簡得sin2A=sin2B

A=B或2A+2B=π   

所以∆ABC為等腰三角形或直角三角形

思路分析：

（1）sin2A=sin2B，則A=B或2A+2B=π，不要丟解；

（2）注意結論是A=B或，兩個結果可以不同時成立，所以不能說∆ABC為等腰直角三角形；

（3）熟練後，對於齊次式可直接邊化正弦，正弦化邊，如

 acosA=bcosB  sinAcosA=sinBcosB


三、利用正、餘弦定理角化邊


四、積化和差


五、因式分解

六、其他

例7、若∆ABC的三邊a，b，c滿足：,則∆ABC的形狀為      。

例9、已知∆ABC和∆DEF,滿足sinA=cosD，sinB=cosE，sinC=cosF，

試判斷∆ABC的形狀。

相關焦點

  • 「卑鄙」的三角形形狀判斷秒殺法
    今天來介紹一種「卑鄙」的三角形判斷法。旨不在於讓你們更方便的判斷三角形形狀，而是在於能夠讓你們在參悟高考拿分方法的路上有所頓悟——畢竟，你們的時間不多了。三角形形狀的判斷題在正、餘弦定理的相關練習中經常出現，而且一般會考察同學們對於三角比公式和正、餘弦定理的綜合應用，這也一直是同學們覺得難以下手和容易失分的問題。
  • 如何巧用因式分解,快速判定三角形形狀
    本篇我們通過對因式分解的拓展和探究，熟練掌握並靈活運用因式分解快速準確地判斷出三角形的形狀。例1、已知△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足（a-b）b+a（b-a）=a（c-a）+b（a-c），試判斷△ABC是什麼三角形。
  • 高中數學判斷三角形形狀,走出解題誤區,突破難關拿高分!
    今天來給大家講很容易就能得分的一些方法，其實這些問題主要是判斷它是否為某些特殊的三角形，學會這些方法以後，在遇到解三角函數的問題，不僅有助於我們判定特殊解，而且還有助於我們擴展此類題型的思路。首先我來指出這種題型的解題方法，我們要明確三角形的形狀有兩種途徑，第1個就是，我們可以研究邊與邊之間的關係，在題目中給出一個三角形之後，看他是否有兩邊或者三邊是相等的，或者把勾股公式帶入他的三條邊之後看等式是否成立。
  • 高二數學必修5預習：解三角形之餘弦定理
    (4)運用餘弦定理時，若已知三邊(求角)或已知兩邊及夾角(求第三邊)，則由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的．2．對餘弦定理推論的理解餘弦定理的推論是餘弦定理的第二種形式，適用於已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用餘弦定理的推論還可以根據角的餘弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．
  • 高二數學必修5預習：解三角形之正弦定理
    第一章 解三角形1.1.1正弦定理一、正弦定理小陳去看奧運會，住在賓館A處，青年體育館B處與德奧多羅水上運動中心C處相距2公裡，三處位置大致如下圖所示，能否利用數學知識算出AB,AC的距離？1.正弦定理2.三角形的元素與解三角形
  • 高二數學必修5預習:解三角形之正弦定理
    (1)三角形的元素把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．(1)適用範圍：正弦定理對任意的三角形都成立．(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式．
  • 解三角形問題中的常見錯解分析
    解三角形問題是個難點，怎樣才能突破這個難點呢？只有正確理解三角形中的邊角關係，即三角形中的邊角等量關係、邊角的不等關係及內角和關係，才能克服這個難點。下面快和包sir一起對解三角形問題中的常見錯誤進行分析。
  • 第二十六期高中數學解三角形專題複習基礎篇1
    解三角形，是高考必考的內容，一般考察兩個小題或1個大題，佔分為10-12分。其中，最主要的就是圍繞正弦定理與餘弦定理的考察，以這兩個定理為基礎，進而考察求邊，求角，判斷三角形解的個數，判斷三角形形狀，求三角形的周長或面積，以及周長或面積的最值問題等，這些都是常考題型。
  • 初二數學,動點構成的三角形形狀怎麼判斷?勾股定理這樣用很簡單
    利用勾股定理判斷三角形的形狀是初二數學的常考題型，判斷等邊三角形中動點所構成三角形形狀，必須藉助輔助線和勾股定理，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。、結論：有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，BD=BP，∠PBD=60°，則△PBD為等邊三角形；根據等邊三角形的性質和結論：等邊三角形的三邊相等，△三個角均為60°，PBD為等邊三角形，則PD=PB，∠BPD=60°；根據全等三角形的判定和題目中的條件、結論：兩組對應邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，BP=BD
  • 高中數學:解三角形問題中的常見錯解分析
    解三角形問題是個難點，怎樣才能突破這個難點呢？只有正確理解三角形中的邊角關係，即三角形中的邊角等量關係、邊角的不等關係及內角和關係，才能克服這個難點。下面就解三角形問題中的常見錯誤進行分析。　　一、不注意三角形的邊角關係，造成角的範圍變化而致錯　　例1 在△ABC中，，試判斷三角形的形狀。　　錯解：由，得，所以，知此三角形為等腰三角形。　　分析：上面的式子不是等價變換，未考慮三角形中角的範圍而致錯。由已知得或，所以A=B或。　　故△ABC是等腰三角形或直角三角形。
  • 高考數學:一解三角形複習知識點,讓你學的很簡單
    通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理、餘弦定理，並能解決一些簡單的三角形度量問題；高中數學必修內容中解三角形有著一席之地，要通過對任意三角形的邊長和角之間的關係進行轉換，就要用到正餘弦定理及其性質和證明方法。
  • 高二數學解三角形考點詳解,教你輕鬆解三角形
    解三角形考點詳解，送給即將參加2020年期末考試的學生們嗨，大家好，這裡是尖子生數理化教育，馬上就要期末考試了，不知道你複習了沒有，我們是在每天堅持給大家更新考點哦，希望大家能夠跟我們一起學習哦。這次課程咱們帶著大家來學習一下解三角形相關的考點吧。三角形的元素三角形ABC，有三個角A,B,C，每個角對應的邊記作相應的小寫字母，a,b,c。即每個三角形有六個元素，分別是三個邊和其對應的三個角。而所謂的解三角形就是把三角形的三個邊和三個角求解出來即可。
  • 歸納總結,等腰三角形中的多解問題,學會再也不漏解
    等腰三角形是中學幾何學中重要的特殊三角形，是考試常考察的重點內容。本文針對其多解問題進行探討。 在一些有關等腰三角形的問題中，如果邊和角未指明或沒有確定，那麼問題的答案往往就不是唯一的，這時一般要運用分類討論的思想，注意可能存在解的多種情況，同時要注意對解的檢驗，這樣可以避免漏解或多解。 下面跟林老師一起來了解一下幾種多解的情況。
  • 教寶寶認識形狀:三角形、正方形
    （盒子的形狀與物品形狀對應）。 遊戲目的：讓寶寶區分不同的形狀，並能把某個形狀的物品與相對應的盒子進行配對。 媽媽寶寶一起玩 1.給寶寶各種形狀的物品，當寶寶拿起一個三角形物品時，媽媽對寶寶說：「寶寶，你拿的是一個三角形，它有三個角。」
  • 2020年，高考數學三角函數與解三角形命題分析，與備考指導
    ψ)的解析式；10）三角函數的圖像和性質的綜合應用；11）兩角和與差的三角函數公式；12）二倍角公式；13）三角函數公式的逆用與變形用；14）三角恆等變換的綜合應用；15）利用正餘弦定理求解三角形；16）與三角形面積有關的問題；17）判斷三角形的形狀；18）正餘弦定理的應用.
  • 直角三角形全等的判定,等腰三角形的判定與性質的理解和掌握
    （1）求證：AB=CD；（2）請判斷△OBC的形狀，並證明你的結論．【解答】證明：【點評】此題主要考查全等三角形的判定和性質，關鍵是學生對直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定與性質的理解和掌握．10．如圖，已知∠DAB=∠CAE，AB=AE，AD=AC．求證：BC=DE．
  • 初中數學:已知a、b、c是△ABC的三邊長,怎麼判斷三角形的形狀?因式分解經典考題
    初中數學：已知a、b、c是△ABC的三邊長，怎麼判斷三角形的形狀？因式分解經典考題。這道題，大家先在草稿本上，認真地做一遍，然後再看後面的視頻。《初中數學全練》公眾號，主要發布初中數學的視頻講解、課時作業和專題訓練試卷，包括七年級數學，八年級數學，九年級數學，中考數學的真題。
  • C語言---判斷三角形的類型
    #include <stdio.h>#include <math.h>int main(){    float a,b,c;//定義三個變量儲存三角形的三條邊    float s,mj;//儲存三角形的面積    printf("請輸入三角形的三條邊:\n");    scanf("%f,%f,%f",
  • 中考難點:構造三角形外接圓解四類難題,另闢蹊徑,別開生面
    【點評】本題考查了相似三角形的性質和判定，圓周角定理的應用，解此題的關鍵是推出△ABD∽△AEC和△BAD∽△ECD，主要考查學生的推理能力．例2．如圖，ABCD是圓內接四邊形，AB、DC的延長線交於E，AD、BC的延長線交於F，EP、FQ切圓於P、Q兩點，求證：EP+FQ＝EF．
  • 中考經典題型-三角形
    >（1）、觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數量關係是( )，位置關係是（ ）；（2）、探究證明把△ADE繞點A逆時針旋轉到圖2的位置，MN、BD、CE，判斷