最大似然估計（Maximum likelihood estimation, 簡稱MLE）和最大後驗概率估計（Maximum a posteriori estimation, 簡稱MAP）是很常用的兩種參數估計方法，如果不理解這兩種方法的思路，很容易弄混它們。下文將詳細說明MLE和MAP的思路與區別。
但別急，我們先從概率和統計的區別講起。
概率和統計是一個東西嗎？概率（probabilty）和統計（statistics）看似兩個相近的概念，其實研究的問題剛好相反。
概率研究的問題是，已知一個模型和參數，怎麼去預測這個模型產生的結果的特性（例如均值，方差，協方差等等）。 舉個例子，我想研究怎麼養豬（模型是豬），我選好了想養的品種、餵養方式、豬棚的設計等等（選擇參數），我想知道我養出來的豬大概能有多肥，肉質怎麼樣（預測結果）。
統計研究的問題則相反。統計是，有一堆數據，要利用這堆數據去預測模型和參數。仍以豬為例。現在我買到了一堆肉，通過觀察和判斷，我確定這是豬肉（這就確定了模型。在實際研究中，也是通過觀察數據推測模型是／像高斯分布的、指數分布的、拉普拉斯分布的等等），然後，可以進一步研究，判定這豬的品種、這是圈養豬還是跑山豬還是網易豬，等等（推測模型參數）。
一句話總結：概率是已知模型和參數，推數據。統計是已知數據，推模型和參數。
顯然，本文解釋的MLE和MAP都是統計領域的問題。它們都是用來推測參數的方法。為什麼會存在著兩種不同方法呢？ 這需要理解貝葉斯思想。我們來看看貝葉斯公式。
貝葉斯公式到底在說什麼？學習機器學習和模式識別的人一定都聽過貝葉斯公式(Bayes』 Theorem)：
貝葉斯公式看起來很簡單，無非是倒了倒條件概率和聯合概率的公式。
把B展開，可以寫成：
這個式子就很有意思了。
想想這個情況。一輛汽車（或者電瓶車）的警報響了，你通常是什麼反應？有小偷？撞車了？ 不。。 你通常什麼反應都沒有。因為汽車警報響一響實在是太正常了！每天都要發生好多次。本來，汽車警報設置的功能是，出現了異常情況，需要人關注。然而，由於虛警實在是太多，人們漸漸不相信警報的功能了。
貝葉斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件證據？（how much you can trust the evidence）
我們假設響警報的目的就是想說汽車被砸了。把A計作「汽車被砸了」，B計作「警報響了」，帶進貝葉斯公式裡看。我們想求等式左邊發生A|B的概率，這是在說警報響了，汽車也確實被砸了。汽車被砸引起（trigger）警報響，即B|A。但是，也有可能是汽車被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（統統計作∼A），其他原因引起汽車警報響了，即B|∼A。那麼，現在突然聽見警報響了，這時汽車已經被砸了的概率是多少呢（這即是說，警報響這個證據有了，多大把握能相信它確實是在報警說汽車被砸了）？想一想，應當這樣來計算。用警報響起、汽車也被砸了這事件的數量，除以響警報事件的數量（這即【式1】）。進一步展開，即警報響起、汽車也被砸了的事件的數量，除以警報響起、汽車被砸了的事件數量加上警報響起、汽車沒被砸的事件數量這即【式2】）。
可能有點繞，請稍稍想一想。
再思考【式2】。想讓P(A|B)=1，即警報響了，汽車一定被砸了，該怎麼做呢？讓P(B|∼A)P(∼A)=0即可。很容易想清楚，假若讓P(∼A)=0，即杜絕了汽車被球踢、被行人碰到等等其他所有情況，那自然，警報響了，只剩下一種可能——汽車被砸了。這即是提高了響警報這個證據的說服力。
從這個角度總結貝葉斯公式：做判斷的時候，要考慮所有的因素。 老闆罵你，不一定是你把什麼工作搞砸了，可能只是他今天出門前和太太吵了一架。
再思考【式2】。觀察【式2】右邊的分子，P(B|A)為汽車被砸後響警報的概率。姑且仍為這是1吧。但是，若P(A)很小，即汽車被砸的概率本身就很小，則P(B|A)P(A)仍然很小，即【式2】右邊分子仍然很小，P(A|B) 還是大不起來。 這裡，P(A)即是常說的先驗概率，如果A的先驗概率很小，就算P(B|A)較大，可能A的後驗概率P(A|B)還是不會大（假設P(B|∼A)P(∼A)不變的情況下）。
從這個角度思考貝葉斯公式：一個本來就難以發生的事情，就算出現某個證據和他強烈相關，也要謹慎。證據很可能來自別的雖然不是很相關，但發生概率較高的事情。 發現剛才寫的代碼編譯報錯，可是我今天狀態特別好，這語言我也很熟悉，犯錯的概率很低。因此覺得是編譯器出錯了。 ————別，還是先再檢查下自己的代碼吧。
好了好了，說了這麼多，下面言歸正傳，說一說MLE。
——————不行，還得先說似然函數（likelihood function）
似然函數似然（likelihood）這個詞其實和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典這麼解釋：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood換成probability，這解釋也讀得通。但是在統計裡面，似然函數和概率函數卻是兩個不同的概念（其實也很相近就是了）。
對於這個函數：
輸入有兩個：x表示某一個具體的數據；θ表示模型的參數。
如果θ是已知確定的，x是變量，這個函數叫做概率函數(probability function)，它描述對於不同的樣本點x，其出現概率是多少。
如果x是已知確定的，θ是變量，這個函數叫做似然函數(likelihood function), 它描述對於不同的模型參數，出現x這個樣本點的概率是多少。
這有點像「一菜兩吃」的意思。其實這樣的形式我們以前也不是沒遇到過。例如，f(x,y)=xy, 即x的y次方。如果x是已知確定的(例如x=2)，這就是f(y)=2y, 這是指數函數。 如果y是已知確定的(例如y=2)，這就是f(x)=x2，這是二次函數。同一個數學形式，從不同的變量角度觀察，可以有不同的名字。
這麼說應該清楚了吧？ 如果還沒講清楚，別急，下文會有具體例子。
現在真要先講講MLE了。。
最大似然估計（MLE）假設有一個造幣廠生產某種硬幣，現在我們拿到了一枚這種硬幣，想試試這硬幣是不是均勻的。即想知道拋這枚硬幣，正反面出現的概率（記為θ）各是多少？
這是一個統計問題，回想一下，解決統計問題需要什麼？ 數據！
於是我們拿這枚硬幣拋了10次，得到的數據（x0）是：反正正正正反正正正反。我們想求的正面概率θ是模型參數，而拋硬幣模型我們可以假設是 二項分布。
那麼，出現實驗結果x0（即反正正正正反正正正反）的似然函數是多少呢？
注意，這是個只關於θ的函數。而最大似然估計，顧名思義，就是要最大化這個函數。我們可以畫出f(θ)的圖像：
可以看出，在時，似然函數取得最大值。
這樣，我們已經完成了對θ的最大似然估計。即，拋10次硬幣，發現7次硬幣正面向上，最大似然估計認為正面向上的概率是0.7。（ummm..這非常直觀合理，對吧？）
且慢，一些人可能會說，硬幣一般都是均勻的啊！ 就算你做實驗發現結果是「反正正正正反正正正反」，我也不信θ=0.7。
這裡就包含了貝葉斯學派的思想了——要考慮先驗概率。 為此，引入了最大後驗概率估計。
最大後驗概率估計最大似然估計是求參數θ, 使似然函數P(x0|θ)最大。最大後驗概率估計則是想求θ使P(x0|θ)P(θ)最大。求得的θ不單單讓似然函數大，θ自己出現的先驗概率也得大。 （這有點像正則化裡加懲罰項的思想，不過正則化裡是利用加法，而MAP裡是利用乘法）
MAP其實是在最大化
，
不過因為x0是確定的（即投出的「反正正正正反正正正反」），P(x0)是一個已知值，所以去掉了分母P(x0)（假設「投10次硬幣」是一次實驗，實驗做了1000次，「反正正正正反正正正反」出現了n次，則P(x0)=n/1000。總之，這是一個可以由數據集得到的值）。最大化P(θ|x0)的意義也很明確，x0已經出現了，要求θ取什麼值使P(θ|x0)最大。順帶一提，P(θ|x0)即後驗概率，這就是「最大後驗概率估計」名字的由來。
對於投硬幣的例子來看，我們認為（」先驗地知道「）θ取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我們用一個高斯分布來具體描述我們掌握的這個先驗知識，
例如假設P(θ)為均值0.5，方差0.1的高斯函數，如下圖：
則P(x0|θ)P(θ)的函數圖像為：
注意，此時函數取最大值時，θ取值已向左偏移，不再是0.7。實際上，在θ=0.558時函數取得了最大值。即，用最大後驗概率估計，得到θ=0.558
最後，那要怎樣才能說服一個貝葉斯派相信θ=0.7呢？你得多做點實驗。。
如果做了1000次實驗，其中700次都是正面向上，這時似然函數為:
如果仍然假設P(θ)為均值0.5，方差0.1的高斯函數，P(x0|θ)P(θ)的函數圖像為：
在θ=0.696處，P(x0|θ)P(θ)取得最大值。
這樣，就算一個考慮了先驗概率的貝葉斯派，也不得不承認得把θ估計在0.7附近了。
PS. 要是遇上了頑固的貝葉斯派，認為P(θ=0.5)=1 ，那就沒得玩了。。 無論怎麼做實驗，使用MAP估計出來都是θ=0.5。這也說明，一個合理的先驗概率假設是很重要的。（通常，先驗概率能從數據中直接分析得到）
最大似然估計和最大後驗概率估計的區別相信讀完上文，MLE和MAP的區別應該是很清楚的了。MAP就是多個作為因子的先驗概率P(θ)。或者，也可以反過來，認為MLE是把先驗概率P(θ)認為等於1，即認為θ是均勻分布。
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