2020中考真題精選之九：全等三角形及特殊四邊形的判定與性質

各位朋友，大家好！今天是2020年8月19日星期三，數學世界將繼續為大家分享2020年各地的數學中考真題，今天我們來講解一道2020年山東青島數學中考題，此題考查平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定等，希望能夠對大家的學習有一些幫助！

例題：（2020·山東青島中考數學試題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交於點O，點E，F分別在BD和DB的延長線上，且DE=BF，連接AE，CF．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）連接AF，CE．當BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是什麼特殊四邊形？請說明理由．

這是一道解答題，有兩個小題，第1個比較簡單，直接根據全等三角形的判定定理即可解決。第2個小題稍微有點難度，先要判斷四邊形AFCE是什麼特殊四邊形，再根據已知條件進行推理，說明結論成立。我們在做這道題時，要明確題意，找到證明結論所需要的條件。接下來，數學世界就與大家一起來完成這道例題吧！

分析：（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到AD=CB，AD∥BC，從而可以推導得到∠ADE=∠CBF，然後根據SAS即可證明結論成立；

（2）根據BD平分∠ABC和平行四邊形的性質，可以證明平行四邊形ABCD是菱形，從而可以得到AC⊥BD，然後即可得到AC⊥EF，再根據題目中的條件，可以證明四邊形AFCE是平行四邊形，然後根據AC⊥EF，即可得到四邊形AFCE是菱形．下面，我們就按照以上思路解答此題吧！

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=CB，AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠ADE=∠CBF，（等角的補角相等）

在△ADE和△CBF中，

AD＝CB，

∠ADE＝∠CBF，

DE＝BF，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）當BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是菱形.

理由：連接AF、CE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∴平行四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC⊥EF，

∵DE=BF，

∴OE=OF，

又∵OA=OC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE是菱形．

（完畢）

這道題主要考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定、全等三角形的判定等知識，解答本題的關鍵是：由平行四邊形到菱形的判定方法。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。謝謝！