撰文/王江山
本文節選自《知識就是力量》雜誌
在音律中，每個音級為「一律」，如果將管仲的三分損益法推演下去，就會得到一個下4度音，依此類推，就能得到12個音，稱「十二律」。如果按照三分損益法推演音律，計算到最後一律時就不能循環，這樣在移調或轉調時，就無法獲得均等的音樂效果，從某種程度上來講破壞了音樂的和諧之美。
那麼，如何解決三分損益法的這一瑕疵呢？如何令音律均等和諧呢？千百年間，中外的音樂家們孜孜以求，可他們大多以失敗告終。幸而，在四百多年前的中國，一位皇親解決了這個問題。
1596年，皇子朱載堉為世界帶來了一個韻律上的偉大貢獻：他編撰了《律呂精義》。在這本書裡，存在一個偉大的證明：勻律音階的音程可以取二的十二次方根。
這個證明看似抽象，仿佛又完全是個數學定理，和音樂究竟有何關係呢？朱載堉到底證明了什麼？
▲朱載堉（1536-1611），字伯勤，明代著名的律學家、歷學家、音樂家。朱載堉自幼深受其父的影響，喜歡音樂、 數學等，被中外學者尊崇為「東方文藝復興式的聖人」（繪圖/朱宇彤）
七辭王位
研究音律學
朱載堉從小就表現出對天文、數學、音樂的興趣。在複雜的政治鬥爭中，他的父親鄭恭王被小人陷害入獄。朱載堉的父親去世後，按規定，朱載堉可以、也應該繼承王位。可是他對做王爺沒有興趣，而越發離不開對天文、曆法與音樂的研究。他連續七次上表，請求準許他辭掉王位，專心探討學問。最後，明神宗同意了他的請求，而且特批，他和他的兒子雖然沒有爵位，但可以終身享受親王與親王世子的俸祿。
面對音樂演奏中「旋宮轉調」這一千古難題，他全身心地投入研究。他研讀了大量先人的學說，發現他們都沒能擺脫舊日思想的沉痾，都不是完善的音律理論。朱載堉在研究音律學的同時，發現前人可能忽略了計量學和度量衡的演變。他思考著：會不會是因為計量不準確，才導致計算偏差呢？
他在確定量制標準的基礎上，從數學理論出發，深入研究了等比數列，進而找到了計算等比數列的方法，並思考著將它運用到音律計算中。可這時，新的難題再一次襲來，等比數列涉及繁複的數學運算，只憑人的腦力恐怕難以成功。但朱載堉沒有放棄，他創造性地運用珠算進行開方運算，還自創了珠算開方口訣，順帶解決了不同進位小數的換算方法，做出了有關計算法則的總結。
▲朱載堉用橫跨81檔的特大算盤，進行與音律有關的數學計算（繪圖/朱宇彤）
就這樣，朱載堉在向難題衝刺的道路上，不斷解決了難題周邊的其他問題，並將從那些問題中獲得的計算方法，應用到解決音樂難題的過程中。在音律理論上，他倡導七聲音階，把八度分成十二個半音以及變調；在推算方法上，他以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，第一次解決了十二律內自由旋宮轉調的千古難題，因此，該音律理論被稱為「十二平均律」。
▲據《明史·藝文志》載，朱載堉的一生有很多著作，內容涉及音樂、天文、曆法、數學、舞蹈、文學等，是一個可以與李時珍、宋應星、徐光啟、徐霞客齊名的重量級科學家，同時也是一位大百科全書式的學者（繪圖/朱宇彤）
發現「十二平均律」
比歐洲早半個世紀
在《律學新說》卷一中，詳細記述了十二平均律的計算方法。他用發音體的長度來計算音高：假定黃鐘正律為一尺，求出低八度的音高弦長為二尺，然後將2開12次方，得到頻率公比數1.059463094，該公比自乘十二次即得十二律中各律音高，而黃鐘正好可以將其還原。
那到底什麼是十二平均律呢？所謂「十二平均律」，就是把中音C和高音C之間的頻率「平均」分成12個間隔，每一個音符的頻率和前一個音符的頻率之比相等。這樣，就把八度音分為十二等分，就是分為十二個等比級數，其結果就是每個音的頻率為前一個音的2開12次方倍。對比數值我們能清楚地發現，朱載堉的計算已經到了很精確的地步。這一發現，幾乎比歐洲人提前了半個世紀。
十二平均律理論的研究，不僅在數學上表現了極大的造詣，也極大地豐富了音樂的色彩和表現力。十二平均律的發現和運用，開創了世界音樂史的新紀元，許多偉大的音樂家及其大批劃時代的作品，都受到了十二平均律的影響。如德國著名的鋼琴家巴赫就很推崇十二平均律，還寫下了48首植根於十二平均律的鋼琴曲呢！