理髮師悖論
今天和大家分享的小故事，主人公是一位理髮師。
很久很久以前，在一個小鎮上，只有一位理髮師。
他理髮有一個硬性規定「我只給不給自己理髮的人理髮」。
故事講完了，那麼請你思考下這個理髮師會不會給自己理髮？
若是他不給自己理髮，那麼他就會給自己理髮
若是他給自己理髮，那麼他就不會給自己理髮
看到這大家，可能有些懵？？？
帶著這個問號，我們來了解下故事背景，到底是誰先說出這個故事，又是說給誰聽的。
數學家
時間來到二十世紀之初，整個科學界都籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中。
科學家們認為，數學的系統性和嚴密性已經完善，科學大廈已基本建成，再有什麼新發現，也只是在一些小數點後面加幾個數字而已。
然而好景不長，時隔不到兩年，科學界就發生了一件大事。
德國的著名邏輯學家弗雷格在他辛辛苦苦研究康託爾的集合論，而且整理成書，準備出版領取稿費之時，收到了羅素的一封來信，信上的內容正是我們一開始說的小故事。
弗雷格
這時的弗雷格真的是完全崩潰，自己辛苦多年，在名垂千史的之際，才知道自己所做的事，一開始就存在這麼個錯誤。
但生活一樣要過，稿費還是要拿，最後他只能在自己著作的末尾寫道
一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。
羅素算是，發現有些人為了錢可以什麼都不要了，只能轉頭回去和康託爾說這個故事。
其實康託爾也已發現了自己的理論有這麼一點瑕疵，但是別人因為這一偉大理論，都在誇他這麼厲害。
想想看，誰能在這時候出來說，我錯了，我的理論基礎就沒正確，而放棄這一偉大成就呢。
康託爾
而羅素又不停的追問康託爾理髮師會給自己理髮嗎？康託爾又無法回答這一問題。
最終，數學家康託爾就這樣瘋掉了。
集合
那麼這集合理論究竟有什麼問題呢？
集合概念：數學中，把具有相同屬性的事物的全體稱為集合
集合特點：
確定性——每一個元素都是確定的
互異性——每兩個元素都是不同的
無序性——元素的排列是不分先後
舉些例子
集合A有三個元素a,b,c ，我們可以寫成A=｛a,b,c｝
有一個集合B，B是所有偶數的集合，我們可以寫成B=｛x丨x是偶數｝
不止是字母和數字，男人也可以構成一個集合，但是美女是不能構成集合的，因為美不美不能確定，每個人的說法不一樣，不滿足集合確定性的特點。
對於集合來說，我們還要知道另外一種重要關係——屬於或不屬於
拿集合B來說，2是偶數，所以2屬於B，記作2∈B
3是奇數，所以3不屬於B，記作 3B
羅素那封信想說的其實是，康託爾的集合論面臨著一個自相矛盾的問題。
羅素
現在定義一個新集合S ，其中S=｛x丨xS｝，那麼x∈S嗎？！
如果x∈S，那麼x不滿足定義，則xS
如果xS，那麼x就滿足定義，則x∈S
都是要面子的人，不太好明說，就借著個小故事來盡情表達。
ZF公理系統
以上內容為第三次數學危機，為了解決這次數學危機，數學家們都在想著法子，解決問題。
數學家策梅羅（Zermelo），提出了七條公理，建立了不會自相矛盾的集合論。
數學家弗芝克爾（Fraenkel-Conrat,Heinz）在此基礎上進行了改進，搭建起了無矛盾的集合論公理系統。
兩位數學家的成果，就是江湖少傳的ZF公理系統。
不過集合論的問題到目前為止仍未被完美解決，所以你回答不出最初的問題，也不要緊了。
但這並不影響集合論被人們稱為人類純智力活動的最高成就，同時，一門新學科《基礎數學》作為此次危機的產物走進了科學。
三次數學危機都在提示著我們，在面對危機的時候，不該認為這是「危機」，而是新的突破機會來了。