俄羅斯方塊覆蓋

這周，給大家分享一個有趣的幾何問題：）

在俄羅斯方塊中，一共有 5 種不同的形狀。這 5 種形狀，都是由 4 個小方格組成的。如下所示：

在真正的俄羅斯方塊遊戲中，其實一共有 7 種形狀。這是因為上圖的形狀 B 和形狀 D 不是對稱的。所以，對這兩種形狀做鏡面反射，可以得到另外兩個形狀，這兩個形狀，在我們今天的問題中不討論。

值得一提的是，這些形狀，在英文中，被稱為 Tetromino。其中， tetra- 這個前綴，就表示「四」的意思。我們變換這個詞根，可以得到一系列不同的英文單詞。

比如，只由一個小方格組成的形狀，就叫做 Monomino。

mono- 前綴，表示單獨的，也就是「一」。比如「獨裁者」，就是 monarch；比如「獨白」，就是 monologue；比如「壟斷」，就是 monopoly；比如「一夫一妻制」，就是 monogamy；比如我們數學中學的單調函數，「單調的」，就是 monotonous；等等等等。

Monomino 的形狀只有孤零零的一種：

如果由兩個小方格組成，就是 Domino，也就是大名鼎鼎的多米諾。相信大家都見過高手玩兒多米諾骨牌的超酷視頻。

其中，du- 這個前綴，就是表示「二」，比如「兩個人決鬥」，就是 duel；比如「二重唱」，就是 duet；比如「兩倍」，就是 double；等等等等。

因為對稱性，Domino 的形狀也只有孤零零的一種：

如果由三個小方格組成，就是 Triomino。其中，tri- 這個前綴，就表示「三」。比如「三角形」，就是 triangle。

Triomino 一共有兩種。由於形狀的不同，被稱為 Straight Triomino 和 Bent Triomino，非常好理解。

而由四個小方格組成，就是上面所說的 Tetromino，也就是俄羅斯方塊遊戲中的形狀。值得一提的是，俄羅斯方塊這個遊戲，官方的英文名字就是 Tetris，詞根也是 tetra-。其實，這個名字和「俄羅斯」沒有什麼關係：）

由五個小方格組成，就是 Pentomino。其中，pent- 這個前綴，就是「五」的意思。比如大名鼎鼎的五角大樓，就叫 The Pentagon。而 pentagon 本身，就是五邊形的意思。

由五個小方格組成的不同形狀，一共有 12 種，如下圖所示：

由 4 個格子組成的不同形狀有 5 種；由 5 個格子組成的不同形狀有 12 種。當我們使用更多的格子時，所能夠組成的不同形狀，將以幾何級數的速度上升。這本身也是一個很有意思的，經典的組合數學的問題，不過我們這篇文章不探討這個問題。

這篇文章，我們探討如下問題：

對於俄羅斯方塊的五種不同形狀，每種形狀使用了 4 個小格子。如果我們每種形狀都取一個，則一共有 20 個小格子。

用這 5 個形狀，能否填滿一個 5*4 的棋盤格？

注意，填滿的定義是：不能有格子是空的，也不能有格子同時被兩個形狀佔據（不能重疊）。

為了方便大家思考，我再把俄羅斯方塊的五種不同形狀擺上：

廣告過後，就是答案：）

解答：

可能計算機專業的同學，會嘗試使用程序，用窮舉法試驗一下。實際上，這個程序並不那麼好寫，但我還是建議計算機專業的同學嘗試一下，是一個很好的編程練習。

對於這個問題，正確答案是：不可能。

是的，這又是一個《沒有解的問題》。

如果同學們可以正確地實現這個程序，你的程序會告訴你沒有解。但是，要想理解為什麼這五種形狀不能填滿一個 5*4 的棋盤格，還有更加巧妙的思考，可以不藉助計算機，直接看出來。

這個思考本身，在問題中，我已經提示給大家了。就是「棋盤格」。

說起棋盤格，大家想到什麼？一定是西洋棋中，黑白相間的格子。這正是想明白這個問題的關鍵。

大家可以看到，一個 5*4 的棋盤格，可以被這樣劃分為 10 個黑格子；10 個白格子。

如果，我們將俄羅斯方塊中的五種形狀，也按照棋盤格的方式，用黑白相間的格子表示，就是這樣：

這裡，大家要注意，中間的形狀 C，也就是 T 形狀，同時佔據了三個黑色格子和一個白色格子。而其他所有形狀，都佔據了兩個黑格子和兩個白格子。因此，這五種形狀，佔據了 11 個黑格子和 9 個白格子。他們是不可能擺在一個有 10 個黑格子和 10 個白格子的 5*4 的棋盤格中的。

證畢。

怎麼樣，是不是很簡單？是不是很酷？

這本身是一個非常經典的，解決棋盤覆蓋問題的技巧，同時，在我看來，也是非常巧妙的一種思維轉換方式。我們從探討 5*4 的棋盤格整體，轉而去考察 10 個黑格子和 10 個白格子這樣的一個「局部」。

最後，給同學們留一個思考題：

這個問題本身，雖然背景依然是俄羅斯方塊，但和上面介紹的俄羅斯方塊覆蓋問題無關。但同樣，可以巧妙地通過思維的轉換，快速看出答案。

問題如下：

現在，你和 bobo 老師一起玩兒一個遊戲。這個遊戲是這樣的：

我們面對一個 5*4 的棋盤格，一共有五種形狀可供我們選擇，就是俄羅斯方塊中的五種形狀各一個。

你和 bobo 老師輪流，每次拿出一個形狀，擺在棋盤上。每個形狀只能使用一次。

如果誰最後無法把任何剩餘的形狀拼進棋盤格中，誰就輸了。依然是，格子之間不能重疊。

傲嬌的 bobo 老師讓你先行動。問：第一步，你要選怎樣的圖形，怎麼擺放，能保證自己肯定贏？

在這裡，給同學們四個選項：

看看大家能不能思考出答案？更關鍵的是，能不能解釋清楚，為什麼？

 

答案我會在下周揭曉。不過，根據我的經驗，一般，同學們在留言區，就能把正確答案分析出來了：）

對了，大家應該看出來了，這篇文章中大部分配圖，都是我手繪的。炫耀一下下 

大家加油！

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