圖1: Kuen曲面
每個人都理解平面或球面總是以同樣的方式彎曲，每個數學初心者最終都會承認偽球面——Kuen曲面在玻璃櫥櫃裡的鄰居——同樣具備這條性質，但是對Kuen曲面能夠直觀地覺察到這一點的人很罕見。這個雕鑿過甚的，「奇異」的曲面，怎麼會是常曲率呢？為了理解這一點，我們必須引入若干概念，尤其是幾種曲率概念。 首先約定一下數學框架：本文中考慮的幾何學稱為微分幾何（與其他種類的幾何學相對，例如多面體的組合幾何或者在曲面上畫直線的代數幾何）；此處關心的是如何定義曲面的度量性質：切觸（譯註：嚴格地說，切觸不是度量性質。我需要向作者詢問為何提到這一點。），長度與曲率。技術上講，必須假定曲面充分光滑（也即定義方程與其他參數化可以求足夠多次導數以保證能夠在這個曲面上做微積分）。首位切實灌溉了這片園地的數學家是那位無法迴避的卡爾·弗裡德裡希·高斯(1777-1855)。但許多主要進展要歸功於伯恩哈德·黎曼(1826-1866)，以至於有黎曼幾何學的說法。自1850年起，義大利幾何學派提供了大量曲面及相關性質的例子，其中幾例我們將在文末引用。因而本文將把時間軸遊標穩固地放在19世紀。 在投入理解曲面曲率的探索之前，從描述平面曲線這一更簡單情形開始也許是有啟發性的。為了刻畫曲線C在其上一點M的鄰域內的樣態，我們從畫切線開始，如果存在切線，那麼它就是在M附近最接近曲線C的直線。這個一階近似提供了這條曲線的有限信息，如果我們找到那個在M附近最貼近C的唯一的圓，那就能得到更精細的近似。這個圓，漢語中稱為「密切圓」，法語稱為「osculateur」，來自於拉丁語的osculatio，意為親吻。密切圓顯示了曲線C的彎曲方式。如果這個圓很大，那麼這個圓在M附近的部分看上去就很平，從而所研究的曲線C在M的附近也就很平；反之，一個很小的半徑就意味著哪怕在很小的尺度上也有一段肉眼可見的很彎的弧。在這個直觀意義下，曲率與密切圓的半徑成反比。於是，為了更定量化的看問題，我們引入密切圓半徑的倒數：平面曲線C在點M處的曲率就等於這個量，至多相差一個符號（這個符號表明我們彎向一側還是另一側）。如果所研究的平面曲線本身就是圓，那麼其上每個點的曲率都等於圓的半徑的倒數；直線的曲率處處為零；絕大多數曲線的曲率隨著其上點的移動而變化。圖2：這張圖展示了一條曲線（黑色）及其上兩個不同點處的密切圓（紅色）。
藉助於有效的解析計算方法（這裡隱藏著導數與微分，微分幾何的名稱由此而來），曲率概念的這一直觀導引當然可以得到更嚴格的表述。在這個更精確的框架下，可以發現與運動學的聯繫，並且可以證明曲率正對應於沿著曲線運動的動點的角速度（譯註：此處假定動點的速率為1）。我們也可以從法線相對於切線選定的定向來理解曲率的符號。 回到三維空間中的曲面S。如上段中的曲線情形一樣，我們要在其上一點M的鄰域內研究曲面S。這次的一階近似，如果存在的話，是過M的一個平面，稱為切平面。經過點M且垂直於這個平面的直線，自然就稱為曲面S在點M處的法線。為了更好地理解曲面S在M的鄰域內的「扭曲」方式，我們從研究曲面上過點M的曲線開始；更精確地說，我們用包含法線的平面去截曲面S，對於每一條如此得到的曲線，都重複一次之前做過的平面曲線研究。如此這般，對於這個平面束中的每個平面， S與這個平面的交線在點M處都有一個曲率的數值與之對應。乍看上去這族數有點不好處理，因此我們情願限制在兩個最值上：這族數中的最小值與最大值稱為曲面S在點M處的主曲率。與曲線的情況一樣，還是有更精確的方式來引入這些值，但方法遠非初等；我們引用一條嚴格的定義來感受一下難度：曲面S在點M處的主曲率是與S在M處的第二基本（二次）形式對應的對稱自同態的特徵值。讀到了這句話，您一定理解，更明智的做法是先從大學教材的汪洋大海中取一冊來參閱，讀懂這裡引用的所有數學概念的定義，然後再來讀這些觀念的嚴格闡述。不過在您去找這麼一本手冊之前，讓我們回到圖書館中的例子，繼續我們對曲率的初等召喚（譯註：作者此處用了évocation一詞，似乎在召喚神龍）。 在通常球面的例子裡，在球面上一點M處所考慮平面與球面的交線全部是過M的大圓，每個大圓在M處的曲率總是一樣的，等於大圓半徑的倒數，也就是球面半徑的倒數。兩個主曲率也就相等，是個嚴格為正的常數。仍然由於球面偉大的對稱性，可見主曲率的取值處處相等，與在球面上考慮哪一點M無關。如果把球面形變一點點，拉長成一個橢球面，那麼兩個主曲率仍然處處為正，但是取值會隨所考慮的點與橢球頂點的接近程度而改變。圖3：左側橢球面，右側雙曲拋物面
對於諢名「馬鞍」的雙曲拋物面來說，可以看到迥然不同的現象：兩個主曲率隨著點的移動而改變，但總是取相反的符號（一個取正號，另一個取負號）。讓我們在馬鞍的「中心」稍息。為了簡單起見，把馬鞍安放在馬背上（這匹馬幫助我們在空間中定位）。所考慮的點M就是當我們想坐穩馬鞍時要對準的那一點；如果馬站在平地上，那麼點M處的法線是鉛直的。包含馬的軸線的鉛直平面將馬鞍截出一條向上翹的曲線；與這個鉛直平面正交的另一個鉛直平面（經過馬鐙的那個）給出一條向下彎的截交線：在這種情況下，兩個主曲率取不同的符號，因為有兩個方向上的曲率是相反的。 為了更簡明起見，有時把兩個主曲率代之以更簡單但沒那麼明顯的指標：例如兩個主曲率的平均值稱為平均曲率（因此在形式化框架裡，這個指標是前述自同態的跡）；兩個主曲率的乘積稱為高斯曲率（這次是那個自同態的行列式）。在Kuen曲面的情形，我們感興趣的正是高斯曲率。文首提到的性質可以重述為：在Kuen曲面上的所有點處高斯曲率都等於同一個負值；既具有球面的性質（高斯曲率在有定義的地方處處相等）又具有馬鞍面的性質（高斯曲率嚴格為負）；一邊想像著這兩條性質的結合一邊凝視著這張曲面，這難道不奇妙嗎？圖4：曳物線
當然，這並不是具備這條性質的僅有的曲面；也有其他模型表示常負高斯曲率曲面：Dini螺旋曲面與偽球面。面如其名，Dini螺旋曲面是Ulisse Dini (1845-1918)引入的，可以通過一條初等曲線——曳物線——的「螺旋運動」而得到。圖5：Dini螺旋曲面
這條簡單的曲線同樣可以生成偽球面，但這次是圍繞著定軸旋轉。於是可以說偽球面——Eugenio Beltrami (1835-1900)為之定名，但在定名之前已經被研究很久了——是個旋轉面；用任意水平面去截這個曲面，每個截交線都是圓（假定中心軸線是垂直的）。圖6：偽球面
（譯註：不難看到Kuen曲面、Dini螺旋曲面與偽球面這些常負曲率曲面的模型都有鋒利的邊緣，也就是說這些模型上都存在無窮多個無法定義曲率的奇點，這是由於希爾伯特證明的一條定理說完備的雙曲平面不可能等距嵌入到三維歐氏空間中。南斯拉夫數學家Danilo Blanuša於1955年給出了完備雙曲平面到六維歐氏空間中的等距嵌入，也就是說在六維歐氏空間中已經可以構造出與Kuen曲面、Dini螺旋曲面、偽球面類似的常負曲率曲面，但是性質更好一些，完全光滑，沒有奇點。似乎到目前為止我們還不知道是否存在到四維或五維歐氏空間中的等距嵌入。）Danilo Blanuša (1903-1987)
儘管就高斯曲率而言這些曲面有著共同性質，可很難說所有這些曲面彼此類似。數學家們尋求重新從方程出發來解釋這些共同點。Luigi Bianchi (1856-1928)就是這麼做的，他描述了如何使用一個保持曲率的幾何變換從偽球面變到Kuen曲面：如此一來，對於偽球面上的每個點，都有Kuen曲面上的唯一一點與之對應，並且對應兩點處的高斯曲率相等，反之亦然。計算是躲不過的，可這些計算過程只能讓詩人氣質的訪客退避三舍。這個任務就留給職業幾何學家們吧。讓我們繼續讚嘆其他同樣令人驚奇的模型、曲面、數學性質……本文譯自亨利龐加萊研究所編著的Objets mathématiques一書中的篇目Courbure constante，作者是巴黎著名的數學教師Roger Mansuy。