來自：阮一峰的網絡日誌
作者：阮一峰
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布爾代數是計算機的基礎。沒有它，就不會有計算機。
布爾代數發展到今天，已經非常抽象，但是它的核心思想很簡單。本文幫助你理解布爾代數，以及為什麼它促成了計算機的誕生。
我依據的是《編碼的奧妙》的第十章。這是一本好書，強烈推薦。
19世紀早期，英國數學家喬治·布爾（George Boole，1815－1864）突發奇想：人的思想能不能用數學表達？
此前，數學只用於計算，沒有人意識到，數學還能表達人的邏輯思維。
兩千年來，哲學書都是用文字寫的。比如，最著名的三段論：
所有人都是要死的，
蘇格拉底是人，
所以，蘇格拉底是要死的。
喬治·布爾認為，這種推理可以用數學表達，也就是說，哲學書完全可以用數學寫。這就是數理邏輯的起源。
二、集合論喬治·布爾發明的工具，叫做"集合論"（Set theory）。他認為，邏輯思維的基礎是一個個集合（Set），每一個命題表達的都是集合之間的關係。
比如，所有人類組成一個集合R，所有會死的東西組成一個集合D。
所有人都是要死的
集合論的寫法就是：
R X D = R
集合之間最基本的關係是併集和交集。乘號（X）表示交集，加號（+）表示併集。上面這個式子的意思是，R與D的交集就是R。
同樣的，蘇格拉底也是一個集合S，這個集合裡面只有蘇格拉底一個成員。
蘇格拉底是人
// 等同於
S X R = S
上面式子的意思是，蘇格拉底與人類的交集，就是蘇格拉底。
將第一個式子代入第二個式子，就得到了結論。
S X (R X D)
= (S X R) X D
= S X D
= S
這個式子的意思是，蘇格拉底與會死的東西的交集，就是蘇格拉底，即蘇格拉
底也屬於會死的東西。
三、集合的運算法則前面的三段論比較容易，一眼就能看出結論。但是，有些三段輪比較複雜，不容易立即反應過來。
請看下面這兩句話。
"鴨嘴獸是卵生的哺乳動物。鴨嘴獸是澳洲的動物。"
你能一眼得到結論嗎？
鴨嘴獸 X 卵生 = 鴨嘴獸
鴨嘴獸 x 澳洲 = 鴨嘴獸
將第一個式子代入第二個，就會得到：
鴨嘴獸 X 卵生 x 澳洲 = 鴨嘴獸
// 相當於
卵生 x 澳洲 = 鴨嘴獸 + 其他
因此，結論就是"有的卵生動物是澳洲的動物"，或者"有的澳洲的動物是卵生動物"。
還有更不直觀的三段論。
"哲學家都是有邏輯頭腦的，一個沒有邏輯頭腦的人總是很頑固。"
請問結論是什麼？
這道題會用到新的概念：全集和空集。集合A和所有不屬於它的元素（記作-A）構成全集（I），這時A和-A的交集就是一個空集（0）。
A + (-A) = I
A X (-A) = 0
因此，有下面的公式。
B
= B X I
= B X (A + -A)
= B X A + B X (-A)
回到上面那道題。
哲學家 X 邏輯 = 哲學家
無邏輯 X 頑固 = 無邏輯
根據第一個命題，可以得到下面的結論。
哲學家 X 無邏輯
= (哲學家 X 邏輯) X 無邏輯
= 哲學家 X (邏輯 X 無邏輯)
= 哲學家 X 0
= 0
即哲學家與沒有邏輯的人的交集，是一個空集。
根據第二個命題，可以得到下面的結論。
無邏輯 X 頑固
= 無邏輯 X 頑固 X (哲學家 + 非哲學家)
= 無邏輯 X 頑固 X 哲學家 + 無邏輯 X 頑固 X 非哲學家
= 0 X 頑固 + 無邏輯 X 頑固 X 非哲學家
= 無邏輯 X 頑固 X 非哲學家
= 無邏輯
也就是說，最終的結論如下。
無邏輯 X 頑固 X 非哲學家 = 無邏輯
// 相當於
頑固 X 非哲學家 = 無邏輯 + 其他
結論就是頑固的人與非哲學家之間有交集。通俗的表達就是：一些頑固的人，不是哲學家，或者一些不是哲學家的人，很頑固。
由此可見，集合論可以幫助我們得到直覺無法得到的結論，保證推理過程正確，比文字推導更可靠。
既然命題可以用集合論表達，那麼邏輯推導無非就是一系列集合運算。
由於集合運算的結果還是集合，那麼通過判斷個體是否屬於指定集合，就可以計算命題的真偽。
一名顧客走進寵物店，對店員說："我想要一隻公貓，白色或黃色均可；或者一隻母貓，除了白色，其他顏色均可；或者只要是黑貓，我也要。"
這名顧客的要求用集合論表達，就是下面的式子。
公貓 X (白色 + 黃色)
+ 母貓 X 非白色
+ 黑貓
店員拿出一隻灰色的公貓，請問是否滿足要求？
布爾代數規定，個體屬於某個集合用1表示，不屬於就用0表示。 灰色的公貓屬於公貓集合，就是1，不屬於白色集合，就是0。
上面的表達式變成下面這樣。
1 X (0 + 0)
+ 0 X 1
+ 0
= 0
因此，就得到結論，灰色的公貓不滿足要求。
這就是布爾代數：計算命題真偽的數學方法。
五、布爾代數的運算法則布爾代數的運算法則與集合論很像。
交集的運算法則如下。
1 X 1 = 1
1 X 0 = 0
0 X 0 = 0
併集的運算法則如下。
1 + 1 = 1
1 + 0 = 1
0 + 0 = 0
集合論可以描述邏輯推理過程，布爾代數可以判斷某個命題是否符合這個過程。人類的推理和判斷，因此就變成了數學運算。
20世紀初，英國科學家香農指出，布爾代數可以用來描述電路，或者說，電路可以模擬布爾代數。於是，人類的推理和判斷，就可以用電路實現了。這就是計算機的實現基礎。
雖然布爾代數可以判斷命題真偽，但是無法取代人類的理性思維。原因是它有一個局限。
它必須依據一個或幾個已經明確知道真偽的命題，才能做出判斷。比如，只有知道"所有人都會死"這個命題是真的，才能得出結論"蘇格拉底會死"。
布爾代數只能保證推理過程正確，無法保證推理所依據的前提是否正確。如果前提是錯的，正確的推理也會得到錯誤的結果。而前提的真偽要由科學實驗和觀察來決定，布爾代數無能為力。
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