三扇門遊戲與先驗概率、後驗概率

2021-03-02 輕鬆學高等數學

思考(請在看完下面的文章後再解答此題，明天回復1獲取答案)

有三個囚犯A,B,C. 第二天將其中的兩個人釋放.每個人的機會均等,但釋放人員已經確定,3個人都不知道誰會被釋放.監獄的看守是A的朋友,於是A去詢問看守釋放的情況,A說，我知道他們兩人中一定有人會被釋放，你告訴我是誰也無所謂．看守說，如果你知道誰被釋放，那麼你被處決的概率將由1/3增加到1/2,你還想知道嗎？如果你是Ａ，你怎麼看？他說的對嗎？

在講條件概率的時候課本上提到了先驗概率與後驗概率，對於這兩個概念很多同學不理解，下面我來重點剖析一下。

對於一個事件A的概率，我們很難知道它的精確值，除非像拋硬幣的理想實驗，在試驗之前，可以明確P(正面朝上)＝1/2,其它的比如課本上提到的一臺新機器生產產品的合格率，我們是不可能知道它的精確值的，所以只能根據以往的數據進行分析得到，這批機器已經生產了10000件產品，合格的有9999件，則其合格率為0.9999,這個概率值就是一個先驗概率，把這個值賦予這這臺新機器，是基於以前的經驗，所以是先驗概率,記為P(A)。

後驗概率則是在得到新信息後再重新加以修正的概率，後驗概率是條件概率，新得到的信息作為條件，記為P(A|新信息),其中新信息可能是新機器生產的前多少件為合格品。

問題來了，先驗概率和後驗概率哪個更大呢？

還是以此題為例：

對以往的數據分析結果表明，當機器調整良好時，產品合格率為98%，而機器發生故障時產品合格率為55%，每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為95%，已知某日早上第一件產品是合格品，試求機器調整得好的概率？

分析：設A為事件「產品合格」，Ｂ為事件「機器調整良好」，則p(B)=0.95就是一個先驗概率，題目中給出了新的信息，已知某日早上第一件產品是合格品，則此時所求的就是後驗

可見當給出的是不利於調整良好的新信息時，其後驗概率會變小。

這是顯而易見的，再列出幾個實例：

某人有種疾病的發病率為a（先驗概率）,檢查呈陽性，則得病率（後驗概率）大大增加；

某班以往數學成績的及格率為0.95,即任抽一人及格的概率為0.95,這是先驗概率，但發現抽出人為第一，倒數的，則及格率大大下降。

後驗概率是個條件概率，對於條件，我們一定要搞清楚，不要遺漏任何信息．

比如三門遊戲：

有三個門，裡面有一個裡有汽車，如果選對了就可以得到這輛車，當應試者選定一個門之後，主持人打開了另外一個門，空的。問應試者要不要換一個選擇。假設主持人知道車所在的那個門。

此題有很多討論，但很多人看後沒有完全明白怎麼回事，下面我來償試解答一下：

你選一個門後，中獎概率顯然為1/3, 然

後如果主持人不知道是哪一個門後面有汽車，他隨意選的，打開之後是空門，則此時剩下你所選的門和另一扇門，則不管換與不換，都是

P(不換|隨機打開一扇門，為空)＝P(換|隨機打開一扇門，為空)=1/2

所以你換與不換中獎概率都是1/2.

此題關鍵在於新知信息絕不是打開一扇空門那麼簡單，而應該這樣描述：

P(你不換|主持人知道車在哪一個門，他打開你沒選的另一扇空門)與P(你換|主持人知道車在哪一個門，他打開你沒選的另一扇空門)哪一個概率大！

不妨設你抽的是第一扇門，設後面有車的門為１，其它為0,則所有可能情況見下表：

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