米歇爾·羅爾（Michel Rolle，1652年4月21日－1719年11月8日），法國數學家
一、基本概念與定理
1、中值命題
函數或其導數在某區間中至少存在一點成立的等式或者不等式，常稱為中值命題；並且根據等式關係和不等式關係描述的結論分為等式命題與不等式命題.
2、中值等式證明支持理論
考慮使用零點（介值）定理證明，但是如果遇到方程f(x)=0具有偶重根，f(x)在區間[a,b]兩端點的值不變號，或者抽象的中值等式，則函數值的正負可能難以或者根本無法判斷，從而使得零點定理可能無法使用；對於這樣的等式，尤其是包含有導數值的等式，則一般考慮使用微分中值定理來解決，尤其是首先考慮的是羅爾中值定理來解決.
3、羅爾定理
條件：
(1)如果f(x)在[a,b]上連續；
(2)在(a,b)內可導；
(3)f(a)=f(b)；
結論：
至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f』(ξ)=0.
二、用羅爾定理證明中值等式的思路與步驟
在確定使用羅爾定理來證明中值等式時，可考慮如下基本思路與步驟：
(1) 變換預證等式：化簡、移項，將等式所有項移動到左側，使得右側等於0，即具有G(ξ)=0的形式.
(2) 構造輔助函數F(x)：將等式中的中值符號，如ξ，替換為變量x，將其轉換為函數G(x)在中值的函數值，然後計算、構造該函數的一個原函數F(x)(即導數為G(x)的函數). 在原函數F(x)無法直接計算得到的情況下，可以考慮引入不增加導函數G(x)零點的輔助函數h(x)乘以G(x)來構造原函數F(x)，即問題轉換為尋找G(x)h(x)的原函數F(x). 常用的輔助函數h(x)有自然常數為底的指數函數ex，不包含原點區間的冪函數xn等，使得
F』(x)=G(x)或者F』(x)=G(x)h(x).
常見的中值等式及通過湊導數方式構造輔助函數F(x)的形式列表如下：
【注】：其中輔助函數所具有的結構或形式，也可以根據已知條件能夠推導、變換得到的各種可能的結果表達式，結合需要證明的中值等式來嘗試尋找. 同時，值得注意的是F(x)的形式不唯一.
(3) 驗證條件給出結論：驗證構造的原函數F(x)滿足羅爾定理的三個條件，並一一列出，然後寫明基於羅爾定理的結論，並變換得到與所需證明結論的等價形式.
三、實例分析
例 設函數f(x)，g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有二階導數且存在相等的最大值，
f(a)=g(a)，f(b)=g(b).
證明：存在ξ∈(a,b)，使得
【解題分析】變形中值等式，有
所以考慮構造輔助函數
下面驗證F(x)滿足羅爾定理的三個條件：根據已知條件「函數f(x)，g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有二階導數且存在」可得
(1)F(x)在[a,b]上連續；
(2)F(x)在(a,b)內可導.
下面關鍵是驗證存在有兩點x1，x2，使得F(x1)=F(x2)，即
如果令G(x)=f(x)-g(x)，即存在兩個導數值相等，如果能夠找到三個點使得G(x)的值相等，則使用兩次羅爾定理則可以得到x1，x2點.
根據「f(a)=g(a)，f(b)=g(b)」，容易得到有
如果還能找到一個了G(x)的零點，則就可以驗證我們的問題了. 另外一個已知條件為「f(x),g(x)在(a,b)內存在相等的最大值」，則設兩個最大值點分別為c,d，即
f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，
且f(c)=g(d)，於是有
於是由零點定理，存在一點η∈[c,d]，使得
G(η)=f(η)-g(η)
於是分別在[a, η]，[η,b]上使用羅爾定理，有
x1∈(a, η)，x2∈ (η,b)，使得
所以，由於[x1,x2]⊂[a,b]，由前面的推導，根據羅爾定理，存在ξ∈(x1,x2)，使得
【注】：對於這個習題，如果設輔助函數為
F(x)=f(x)-g(x)，
這樣可能更符合日常做過的練習，即函數F(x)在三個點函數值相等，兩次使用羅爾定理，得到存在一點使得二階導數值F』』(ξ)=0驗證更熟悉和更直接. 而按照分析過程中所設的輔助函數，則思路更符合分析、總結的三個解題步驟.