引言
高等數學中最重要的概念莫過於極限，其他的概念都由其派生出來，比如：連續，微分，積分，級數等等。
先簡單回憶下極限的定義：
如果用語言來表達，大致就是說：如果數列與 a 的距離 要有多接近，就有多接近，則的極限為 a.
這裡涉及到一個非常重要的概念：距離。
在數軸上，兩點，a 的距離為.
在平面中，兩點之間的距離為
而沒有空間(數軸，平面等)，距離也就無從談起！
我們今天主要和大家一起來簡單討論一下距離和空間。
從距離談起
那麼，我們首先要問，距離是什麼？
在我們大腦中，根深蒂固的距離就是兩點連線的長度。問題真的有這麼簡單嗎？
假設你現在身處曼哈頓 街區，你老闆通過GPS全球定位系統，發現你在下圖A點位置，這時你老闆發微信給你，要求你3分鐘內趕到距你2公裡的B點去洽談業務，時間倉促，你來不及考慮，揮手招了一輛從遠處向你急駛而來TAXI。
好，那麼問題來了，你如何能用最快的時間從A點到達B點？
顯然，AB的藍色連線是行不通的，因為這不是在量子力學的微觀世界，計程車是無法穿越房子的。
你可以選擇下圖中紅色的路線，這就是AB兩點的最短距離，我們把它稱為曼哈頓距離，即
而AB的藍色連線長度
稱為歐幾裡得距離 (簡稱歐氏距離)。
再比如，西洋棋中，國王從一個格子走到另一個格子
的最短距離為，這被稱作切比雪夫距離。
除了上述距離之外，還有很多其他的距離，比如：閔可夫斯基距離，馬氏距離，漢明距離等等。
數學中一個最重要的任務，就是抓住特殊事物的重要性質，將其抽象推廣到一般情況。如何將以上各種距離的共同性質抽象出來呢？
從下面極限唯一性的證明中，你能獲得啟發，總結出以上距離的共同特性嗎？(你也可以跳過這段證明，不影響理解~)
從上述證明過程，我們不難發現，距離具有如下三個最基本的屬性：
正定性：，等號成立若且唯若A=B.
對稱性：
三角不等式：
所有關於距離的其他性質，都可以由上述三條推導出來，因此，這三條性質就是距離的本質屬性。於是，我們就產生了如下嚴格的距離定義：
定義 實數上的二元函數，如果滿足正定性，對稱性和三角不等式，則稱這個二元函數為距離。
據此，我們甚至可以定義人與人之間的心靈距離，只要其滿足上述三條基本性質即可。
向量的點乘與四維時空空間
自然科學一個主要的任務，就是尋找不變量。
比如，牛頓經典力學中，在一定條件下，能量/動量/角動量 是不會隨著物體的時空變換而發生變化的。因此，能量/動量/角動量等就是不變量，一旦找到不變量，這個不變量將是我們解決各種理論和實際問題重要的思想源泉和強大武器。
想了解詳情的同學可以點擊下面藍字連結查看 (跳過並不影響理解本文)：
我們把所有的向量關於向量的加法和數乘所形成的代數結構，稱為向量空間。
下面我們首先引入一個在坐標變換下保持不變的量：向量的點乘。
設，則
接下來，我們來見證向量的點乘這個不變量的強大功能！
首先，我們可以通過點乘定義向量的模：
再通過點乘定義兩向量的夾角：
當然，在數學中，定義一個概念必須要保證其合理性。比如，
在定義模的時候，應該保證的非負性；
在定義夾角時，應保證
在反餘弦函數arccos的定義域 [-1, 1]之中。
由於點乘的以下三個本質屬性，保證了上述向量的模和夾角的合理性。
正定性：，等號成立若且唯若=0；
對稱性：
雙線性：
(1)
(2)
關於向量夾角的合理性，這裡多說幾句，我們必須先用上述點乘的三個性質證明Cauchy-Schwarz不等式：
有了模和夾角的概念，接下來就可以定義兩個向量的距離和垂直了：
距離：
垂直：
可能很多同學看到這裡已經暈了，簡單總結一下：
通過點乘，我們可以定義：向量的模，夾角，距離，垂直和單位向量。
特別值得注意的是：以上所有推導都是基於點乘的三個基本性質：
正定性：，等號成立若且唯若=0；
對稱性：
雙線性：
(1)
(2)
因此，只要滿足上述三條本質屬性的二元實函數，我們就稱其為點乘(或內積)。
利用不同的雙線性函數可以獲得不同的空間，比如：
實向量空間+正定對稱雙線性函數=歐氏空間
復向量空間+厄密特雙線性函數=酉空間
復向量空間+滿秩反對稱雙線性函數=辛空間
實向量空間+不定二次型=四維時空空間
註：對稱雙線性函數就是二次型，在線性代數中，我們將二次型劃分為五類：正定，半正定，負定，半負定和不定二次型。
於是，通過不同的二次型，我們就可以定義不同的空間。
比如，設，其中 c 表示光速，t表示時間，若t<0，則表示過去，t=0，就是現在，t>0則為將來。
若，我們定義
則關於上述內積形成的空間就是愛因斯坦狹義相對論中的四維時空空間。
傅立葉級數
有了單位向量和垂直，我們就可以通過施密特正交化將一組線性無關的向量組變為標準正交向量組，那麼有同學問，這又有什麼好處呢？
設是 n 維向量空間中兩兩垂直的單位向量，則對，
其中是在上的坐標。
即是說，在上的坐標等於在上的投影。
於是，
上式稱為的傅立葉展開，而括號中紅色部分稱為傅立葉係數。
下面我們通過向量點乘的正定，對稱和雙線性來給出函數的點乘(或內積)的概念，並由此定義函數的長度和垂直的概念。什麼？函數還有長度和垂直？是的，你沒看錯！！！
考慮閉區間[a, b]上全體實連續函數所形成的無限維向量空間C[a,b].
對，我們定義f(x)和g(x)的內積如下：
容易證明上述定義滿足正定，對稱和雙線性，因此我們可以通過它來定義函數的長度，夾角，垂直等概念。
函數的長度：
函數的垂直：
不難得到，下列函數族在任意長度為2區間上是兩兩正交(垂直)的：
因此，只要函數滿足Dirichlet-Jordan判別法，則任意函數的傅立葉級數就會收斂。即，
上述結論在很多研究領域都有廣泛的應用，在求解微分方程問題時更具有基本的重要性。
相比泰勒級數，傅立葉級數具有如下優勢：
條件比較寬鬆；
在整個區間吻合度都很好；
三角函數的信號比較容易產生。
最後，我們來看一下Cauchy-Schwarz不等式
應用到函數空間的情形
於是，我們得到：
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