接著上一期的話題，咱們還是從數學問題開始，在數學中，一個數的平方，永遠是一個正數，比如10的平方是正100，負10的平方還是正100。
我們進行平方的逆運算，就是平方根運算的時候，自然就會認為，只有正數才有平方根，負數是沒有平方根的。
但數學家們在進行計算的時候，其實經常會碰到負數的平方根。
比如說，16世紀的義大利數學家卡爾達諾提出一個問題，有沒有可能找出兩個數字，讓它們加起來等於10，乘積等於40呢？這個問題如果放在實數範圍內來看，答案是不存在的。
但如果允許負數的平方根存在的話，那我們就可以找出一個答案，只不過這個答案中會包含根號-15這個奇怪的數字。數學家給負數的平方根起了個名字，跟實數相對應，叫虛數，還規定，根號-1叫i，這樣的話，根號-20就是20i，根號-15就是15i。
但虛數這個東西，實在是看不出它有什麼意義，所以即使它在數學計算裡大量出現，數學家們一開始還是不承認它的名分。
比如在德國著名數學家萊昂納德·歐拉1770年出版的一本談論代數的書中，我們可以找到虛數的大量應用，但是它們卻伴隨著這樣的評論：所有類似於根號-1和根號-2的表達式都是不可能存在的或虛擬的數，因為它們代表了負數的平方根。對於這樣的數，我們可以真實地宣稱，它們既不是虛無，也沒有超越虛無，更不會低於虛無，這必然構成了它們的虛幻或不可能。
不過話雖這麼說，歐拉該用虛數的時候還是用，因為實在沒辦法，不用的話，很多計算根本無法進行。
歐拉（1707年4月15日-1783年9月18日）
虛數這種在數學領域裡的尷尬地位持續了整整有兩個多世紀，最後還是兩個業餘數學家給了它一個名分。
這倆人一個是測繪員韋塞爾，一個是會計師員羅伯特·阿爾岡，他倆從幾何的角度，給虛數做了這樣一個解釋：我們平常說的「數軸」，就是畫一條橫線，然後標上一個點作為零點，左邊是負數，右邊是正數。
那在數軸能不能找到虛數呢？這兩位說，在這條橫線上，肯定是找不到的，我們應該在零點處畫一條跟橫軸垂直的縱軸，也標上1、2、3、4……只不過這條線是代表虛數，所以其實是1i、2i、3i……這樣一來，兩條線組成一個坐標系，所有的數字，就都能在這個坐標系裡找到了。比如15i，也就是根號-15，就在坐標軸裡的縱軸上，如果是20+根號-15，那就在橫軸上找到20，縱軸上找到15i，通過這兩個點畫兩條分別與坐標軸垂直線，這兩條線的交點就是在坐標系裡的這個數字。
虛數就先說到這，那問題是這個虛數到底有沒有用呢？其實，虛數還真有用，而且有大用處。
我們可以用虛數，來把時間和空間結合起來，構建出一套四維空間的幾何學。而這套幾何學會讓我們發現，時間和空間並不是絕對獨立的，也不是恆定不變的。這個說法是不是很熟悉，對，沒錯，這個觀點就是愛因斯坦相對論的雛形。
我們生活的世界，在空間上是一個三維世界，意思就是說，我們可以在空間裡移動的方向可以是向前、向後、向左、向右、向上、向下。三個相互垂直的獨立方向是我們所生活的物理空間最基本的性質之一。確定任何一個位置，無論你採用什麼方法，都至少需要三個維度的數據才能確定，比如在地球上的任意一點就可以通過經度、緯度和高度來確定。
但是，如果我們要確定某件事情的具體狀況，那光有空間還不夠，還得加上另一個維度，就是時間。
比方說，在2021年1月28日10點，天津市和平區有一棵樹被大風吹倒了，這才能準確地說出一個具體的事件。
所以，我們需要四個維度，才能準確地確定某件事的時空位置。也就是說，我們生活在一個四維的時空世界中。
電影《星際穿越》反映了四維時空概念
但如果要把時間看成是第四維度，就必須要面對一個問題，就是怎麼才能把時間和空間聯繫到一起進行計算呢？再具體一點說，我們怎麼才能測量一個四維時空裡兩個事件之間的距離呢？
如果要測量長寬高，那我們可以用統一的長度單位，比如多少釐米、多少米。但如果要測量時間的話，就只能用小時、分鐘、年月日這些計量單位。那1米跟1小時，該怎麼結合在一起進行計算呢？
乍看起來，這個問題就跟我家的電飯煲和你家的汽車那個更好一樣，毫無意義，但其實也有辦法解決。
舉個例子。如果你出門問路，要去地鐵站還有多遠啊？那人家可能會跟你說，地鐵站有點遠，走路要半個小時，你不如騎個共享單車，5分鐘多鍾就到了。這就是一個典型的，用時間來表示距離的辦法。
在這裡只要速度是不變的，就可以把時間轉換成空間。那怎麼找到這個確定的速度呢？沒錯，就是光速。
科學家已經發現，光在真空中的傳播速度是恆定的，不受任何情況的影響，這個結果已經經過了很多實驗的驗證。如果我們把光速和時間結合到一起，就可以得到一個距離單位，比如光年就代表光在一年時間內經過的距離。
如果我們要計算5分鐘相當於多遠，那就用5分鐘乘以光速，就能得到一個距離。同樣，太陽發出的光到達地球需要8分鐘，我們就可以說太陽到地球的距離是8光分，換算成距離大約就是1.5億千米。
現在萬事俱備，我們看看科學家是如何確定四維時空裡，兩個事件的距離的。其實，測量兩個事件在空間上的距離很簡單，而時間上的距離剛才也說了，我們可以測出兩個事件之間的時間間隔，然後乘以光速，就能得到一個距離。
關鍵在於，時間和空間要怎麼放在一起，畢竟還是不一樣的兩種東西。不能把這兩個結果簡單地加在一起，那樣是沒有意義的。這兩個距離必須要有所區分，顯示出不同才行。
那怎麼區分呢？科學家想了個辦法：建立一個坐標系，把空間距離當做橫軸，時間距離當成縱軸，這樣一來，四維時間裡的距離，就既有空間意義，也有時間意義，兩者就能夠完美地結合到一起了。
一提到這個坐標軸，你應該想起了剛才說到的虛數了吧？沒錯，在這種計算中，虛數發揮了相當重要的作用。因為在這個計算中虛數的坐標軸就代表了時間距離。在四維空間的計算中，時間距離前面，是要乘以i的，也就是乘以根號負1，以顯示出時間和空間在本質上的不同。
利用虛數將時間和空間結合在一起，組成坐標系之後，科學家發現了一個非常奇異的現象：我們平常所說的兩個事件之間的時間距離和空間距離，其實可以看作是四維距離在時間和空間這兩根坐標軸上的投影。這麼一來，一旦旋轉這個四維坐標系，就可以讓時間和距離相互轉化。
從這一點出發，我們會進一步發現，時間和空間都不是恆定不變的，而是跟物體的運動狀態有關。一個靜止的人，和一個高速運動的人，時間在他們身上流逝的速度是不同的。這就相當於運動旋轉了時空坐標系，因此改變了四維距離在時空坐標軸上的投影。
是不是又很熟悉了？對，這就是狹義相對論。
也就是說，數學家們曾經以為沒用的虛數，在相對論的計算中就派上了一個大用場。人們恍然間發現，原來看似毫無意義的虛數之下，居然隱藏著如此重要的意義。
總結一下，虛數到底有沒有用？虛數其實就是負數的平方根，雖然它總在數學計算中出現，但數學家們一開始認為，虛數只是存在於想像中的數，既不存在，也沒有意義。
但之後人們發現，如果我們要建立一套四維時空中的幾何學，想要把時間和空間結合起來就必須用到虛數。這麼一來，看似沒有意義的虛數，就巧妙地在四維時空的計算中發揮了重要的作用，並因此在相對論中大顯神通。
除了我們剛剛說的數字遊戲以外，對形狀和空間進行研究的幾何，也是數學中非常重要的組成部分。所以看完了無窮大和虛數這兩個代數上的概念後，下一期還要給你講一個幾何問題，並且和宇宙的形狀聯繫起來，來看看彎曲的三維空間是怎麼回事。